¿Cuál es la diferencia entre convolución y correlación cruzada?

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He encontrado en varios sitios que la convolución y la correlación cruzada son similares (incluida la etiqueta wiki para convolución), pero no encontré en ninguna parte en qué se diferencian.

¿Cuál es la diferencia entre los dos? ¿Puedes decir que la autocorrelación también es una especie de convolución?

convolution autocorrelation cross-correlation

— Semblante
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Puede ser interesante observar que, incluso para funciones reales, la correlación cruzada y la convolución producen el mismo resultado.

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Uno usa una estrella de 5 puntas ★ y el otro usa una estrella de 6 puntas ✶.

— endolito

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La única diferencia entre correlación cruzada y convolución es una inversión de tiempo en una de las entradas. La convolución discreta y la correlación cruzada se definen de la siguiente manera (para señales reales; descuidé los conjugados necesarios cuando las señales son complejas):

x [n] * h [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n - k]

$x[n] * h[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n-k]$

c o r r (x [n], h [n]) = \sum_{k = 0}^{\infty} h [k] x [n + k]

$corr(x[n],h[n]) = \sum_{k=0}^{\infty}h[k] x[n+k]$

$h[n] = x[n]$

Editar: dado que alguien más acaba de hacer una pregunta duplicada, me inspiró para agregar una información más: si implementa la correlación en el dominio de la frecuencia utilizando un algoritmo de convolución rápida como overlap-save, puede evitar la molestia del tiempo. invirtiendo una de las señales primero al conjugar una de las señales en el dominio de frecuencia. Se puede demostrar que la conjugación en el dominio de la frecuencia es equivalente a la inversión en el dominio del tiempo.

— Jason R
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Esta respuesta está bien para señales reales, pero Jason trajo señales de valores complejos, en cuyo caso es importante tener en cuenta que no es exactamente el caso de que "la única diferencia es ... la inversión de tiempo ..." De hecho, los conjugados complejos son necesarios en una de las dos señales en la fórmula de correlación (cuál está conjugado es una cuestión de convención, algunos dicen may to y otros say mah to, pero ambos llaman a la fruta verdura). Por otro lado, ninguna señal se conjuga en la fórmula de convolución.

— Dilip Sarwate

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pero, ¿qué significa que sean tan similares? ¡Usando algunas palabras profundas e intuitivas!

— Diego

No veo cómo esto lo está invirtiendo, en lugar de cambiarlo en la dirección opuesta a lo que es útil.

— Jonathan.

k

$k$

@JasonR, ¿seguramente esto solo resulta en un cambio en la dirección opuesta? He intentado resolverlo y todo lo que sucede es que la entrada x se aleja de la entrada h y todo termina en cero. jsfiddle.net/ua5d1uo2

— Jonathan.

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[H f] (x) \equiv f (x) * h (x) \equiv \int d x^{'} h (x - x^{'}) f (x^{'})

$[Hf](x) \equiv f(x) * h(x) \equiv \int\mathrm{d}x' h(x-x')f(x')$

[G f] (x) \equiv f (x) ⋆ h (x) \equiv \int d x^{'} h^{*} (x^{'} - x) f (x^{'})

$[Gf](x) \equiv f(x) \star h(x) \equiv \int \mathrm{d}x'h^*(x'-x)f(x')$

G

$G$

H

$H$

f (x) * h (x) = h (x) * f (x),

$f(x) * h(x) = h(x) * f(x),$

$\\\\\\\\$

— chaohuang
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Como estudiante estuve involucrado en el mismo problema que tú. Déjame explicarte en las palabras más simples sin ninguna matemática.

Convolución: se utiliza para convolucionar dos funciones. Puede sonar redundante, pero pondré un ejemplo: desea convolucionar (en un término no matemático para "combinar") una celda unitaria (que puede contener todo lo que desee: proteína, imagen, etc.) y una estructura reticular. El resultado sería que esta celda unitaria se organiza en cada punto de la red creando una estructura repetida de celdas unitarias organizadas.

Correlación cruzada: se utiliza para identificar una celda dentro de una estructura. Como ejemplo, tiene la imagen de una pequeña parte de una ciudad y una imagen de toda la ciudad. Con la correlación cruzada puede determinar dónde se encuentra esa pequeña imagen dentro de la imagen completa de la ciudad. Dicho de manera más simple, "escanea" hasta que encuentra una coincidencia. Ahora, la forma de hacerlo es encontrar un factor de correlación cruzada que provenga de la suma de varias multiplicaciones de un valor que proviene de cada imagen.

Es muy simple. Si quieres entender más las matemáticas de una manera amigable, mira este video. Este profesor de CALTECH lo explica de la mejor manera que he visto.

https://www.youtube.com/watch?v=MQm6ZP1F6ms

La mejor de las suertes.

— Andres
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Aquí hay una visualización de los dos en caso de que ayude con la intuición:

http://www.youtube.com/watch?v=Ma0YONjMZLI

— usuario2084538
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Esta es una ilustración muy mal elegida de la diferencia entre las dos operaciones porque deja la impresión de que el resultado de la correlación cruzada es solo el tiempo inverso del resultado de convolución.

— Dilip Sarwate