Entiendo la Transformada de Fourier, que es una operación matemática que le permite ver el contenido de frecuencia de una señal dada. Pero ahora, en mi comunicación. Por supuesto, el profesor presentó la Transformación Hilbert.

Entiendo que está algo relacionado con el contenido de frecuencia dado el hecho de que la Transformación de Hilbert está multiplicando una FFT por o convolucionando la función de tiempo con .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

¿Cuál es el significado de la transformación de Hilbert? ¿Qué información obtenemos al aplicar esa transformación a una señal dada?

Una aplicación de la Transformación de Hilbert es obtener una llamada señal analítica. Para la señal , su Transformación de Hilbert se define como una composición:$s(t)$s ( t )$\hat{s}(t)$

La señal analítica que obtenemos tiene un valor complejo, por lo tanto, podemos expresarla en notación exponencial:

dónde:

$A(t)$ es la amplitud instantánea (envolvente)

$\psi(t)$ es la fase instantánea.

Entonces, ¿cómo son útiles?

La amplitud instantánea puede ser útil en muchos casos (se usa ampliamente para encontrar la envolvente de señales armónicas simples). Aquí hay un ejemplo para una respuesta impulsiva:

En segundo lugar, en función de la fase, podemos calcular la frecuencia instantánea:

Lo que de nuevo es útil en muchas aplicaciones, como la detección de frecuencia de un tono de barrido, motores rotativos, etc.

Otros ejemplos de uso incluyen:

• Muestreo de señales de banda estrecha en telecomunicaciones (principalmente utilizando filtros de Hilbert).

• Imagenes medicas.

• Procesamiento de matriz para la dirección de llegada.

• Análisis de respuesta del sistema.

En términos simples, la transformación de Hilbert, cuando se usa en datos reales, proporciona "una amplitud verdadera (instantánea)" (y algo más) para los fenómenos estacionarios, al convertirlos en datos complejos "específicos". Por ejemplo, un coseno es inherentemente de amplitud 1, que no se ve directamente, ya que se mueve visualmente entre y , y desaparece periódicamente. La transformación de Hilbert complementa el coseno de "la manera más consistente" para que la función compleja resultante mantenga toda la información inicial, más su "amplitud" es directamente un módulo de 1. Todos lo anterior requiere cuidado, ya que la noción de limitación de banda y localidad entran en juego.- 1 1 cos ( t ) + i sen ( t $\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$

La transformación de Hilbert (y la transformación de Riesz en dimensiones superiores) podría ser una herramienta más fundamental. Me gusta el prólogo del Capítulo 2 en Exploraciones en el análisis armónico con aplicaciones a la teoría de funciones complejas y el Grupo Heisenberg , por Steven G. Krantz:

Prólogo: La transformación de Hilbert es, sin duda, el operador más importante en el análisis. Surge en muchos contextos diferentes, y todos estos contextos están entrelazados de manera profunda e influyente. Todo se reduce a que solo hay una integral singular en la dimensión 1, y es la transformación de Hilbert. La filosofía es que todas las preguntas analíticas significativas se reducen a una integral singular; y en la primera dimensión solo hay una opción.

Las aplicaciones en el procesamiento de señal / imagen son numerosas, posiblemente debido a sus propiedades fundamentales: estimación instantánea de amplitud / frecuencia, construcción de filtros causales solo para amplitud (relaciones Kramers-Krönig), pequeñas ondas direccionales 2D de redundancia pequeña, detección de bordes invariantes por desplazamiento, etc.

También sugeriría los dos volúmenes de F. King, 2009, transformaciones de Hilbert .

Una transformación (FT o Hilbert, etc.) no crea nueva información de la nada. Por lo tanto, la "información que obtiene", o la dimensión añadida en la señal compleja analítica resultante proporcionada por una transformada de Hilbert de una señal 1D / real, es una forma de resumen del entorno local de cada punto en esa señal, unido a esa punto.

La información, como la fase local y la amplitud de la envolvente, es realmente información sobre cierto ancho o extensión (hasta una extensión infinita) de una señal que rodea cada punto local. La transformación de Hilbert, al generar un componente de una señal analítica compleja a partir de una señal real 1D, compacta cierta información de una extensión circundante de la señal en cada punto de una señal, lo que le permite a uno tomar más decisiones (tal demodulación de un bit , graficando una amplitud de envolvente, etc.) en cada punto o muestra local (ahora complejo), sin tener que volver a escanear y / o procesar una nueva ventana (wavelet, Goertzel con ventana, etc.) de cierto ancho en la señal en cada punto.

La señal analítica producida por la transformación de Hilbert es útil en muchas aplicaciones de análisis de señal. Si primero filtra la señal de paso de banda, la representación de la señal analítica le brinda información sobre la estructura local de la señal:

• fase indica la simetría local en el punto, donde 0 es simétrico positivo (pico), es simétrico negativo (valle) y es antisimétrico (borde ascendente / descendente).± π /$\pi$$\pm \pi/2$
• La amplitud indica la fuerza de la estructura en el punto, independiente de la simetría (fase).

Esta representación ha sido utilizada para

• detección de funciones a través de energía local (amplitud)
• clasificación de características mediante fase
• detección de características mediante congruencia de fase

También se ha extendido a dimensiones superiores utilizando la transformación Riesz, por ejemplo, la señal monogénica.

La implementación de una transformación de Hilbert nos permite crear una señal analítica basada en alguna señal original de valor real. Y en el mundo de las comunicaciones podemos usar la señal analítica para calcular de manera fácil y precisa la magnitud instantánea de la señal original de valor real. Ese proceso se utiliza en la demodulación de AM. También a partir de la señal analítica podemos calcular de manera fácil y precisa la fase instantánea de la señal original de valor real. Ese proceso se usa tanto en la fase como en la demodulación de FM. Su profesor tiene razón al cubrir la transformación de Hilbert porque es muy útil en los sistemas de comunicaciones.

Grandes respuestas ya, pero quería agregar que convertir una señal a su versión analítica es fácil en el dominio digital (el filtro de media banda requerido tiene la mitad de sus coeficientes iguales a cero), pero una vez allí, la frecuencia de muestreo puede reducirse mitad, esencialmente dividiendo el procesamiento en caminos reales e imaginarios. Obviamente, hay un costo aquí, y algunos términos cruzados deben ser manejados, pero generalmente es útil en implementaciones de hardware cuando la velocidad del reloj es un factor.

Como ya se explicó en otras respuestas, la transformación de Hilbert se usa para obtener una señal analítica que se puede usar para encontrar la envolvente y la fase de la señal.

Otra forma de ver la transformación de Hilbert es en el dominio de la frecuencia. Como la señal real tiene componentes de frecuencia positiva y negativa idénticos, por lo tanto, en el análisis esta información es redundante.

La Transformación de Hilbert se usa para eliminar la parte de frecuencia negativa y duplicar la magnitud de la parte de frecuencia positiva (para mantener la misma potencia).

Aquí, el filtro diseñado de Hilbert Transform es un paso de banda en la naturaleza que pasa frecuencias de 50MHz a 450 MHz. La entrada es la suma de dos señales sinusoidales que tienen frecuencias iguales a 200MHz y 500MHz.

Desde el gráfico PSD, podemos ver que el componente de frecuencia negativa de la señal de 200MHz se atenúa mientras la señal de 500MHz pasa como tal.

Esta pregunta ya tiene muchas respuestas excelentes, pero quería incluir este ejemplo muy simple y una explicación de esta página que aclara masivamente el concepto y la utilidad de la transformación de Hilbert:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ han sido "filtrados"

(Negación: Soy no el autor de la página)