Simetría de transformada discreta de Fourier

Estaba leyendo el capítulo sobre transformadas discretas de Fourier en el libro de Lyons: Comprensión del procesamiento de señales digitales, y no podía entender el último párrafo sobre simetría.

Hay una propiedad de simetría adicional del DFT que merece mención en este momento. En la práctica, ocasionalmente tenemos que determinar el DFT de las funciones de entrada reales donde el índice de entrada $n$ se define sobre valores positivos y negativos. Si esa función de entrada real es par, entonces siempre es real e incluso; es decir, si el real , entonces es en general distinto de cero y es cero. Por el contrario, si la función de entrada real es impar, , entonces es siempre cero y es , en general, distinto de cero.$X(m)$$x(n) = x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$$x(n) = −x(−n)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Nota:$X(m) = X_{\textrm{real}}(m) + jX_{\textrm{imag}}(m)$

• En primer lugar, ¿qué se entiende por "impar" y "par"? Sospecho que es la cantidad de muestras en la señal de entrada, pero eso me lleva a mi segunda pregunta,
• ¿Por qué es cero con funciones de entrada reales que son pares, y por qué, con funciones de entrada reales que son impares, es X _ {\ textrm {real}} (m) cero y X _ {\ textrm {imag}} (m) generalmente no es cero?$X_{\textrm{imag}}(m)$$X_{\textrm{real}}(m)$$X_{\textrm{imag}}(m)$

Par e impar se refieren a la simetría alrededor de $n = 0$ .

Par significa $x[n] = x[-n]$ ; puede obtener la parte para $n < 0$ simplemente reflejando la parte para $n > 0$ en la línea $n=0$ .

Impar significa $x[n] = -x[-n]$ ; puede obtener la parte para $n < 0$ simplemente reflejando la parte para $n > 0$ en la línea $n=0$ y multiplicándola por $-1$ .

Una onda cosenoidal es par, la onda senoidal es impar.

Todos estos son solo casos especiales de la simetría general que dice

si es real en un dominio, es conjugado simétrico en el otro.

Conjugado simétrico significa que la parte real es par y la parte imaginaria es impar. La mayoría de la gente sabe que una señal de dominio de tiempo real como un espectro simétrico conjugado, pero también es al revés: una señal de dominio de tiempo simétrico conjugado tiene un espectro de valor real.

La respuesta de Hilmar es, por supuesto, perfectamente correcta, pero creo que hay varios puntos que Lyons no abordó en la declaración citada por el OP (o tal vez habló sobre ellos anteriormente y decidió no repetirse en el párrafo citado por el OP) .

La Transformada discreta de Fourier (DFT) se describe comúnmente como una transformación de una secuencia de longitud finita N en otra secuencia ( X [ 0 ] , X [ 1 ] , … , X [ N - 1 ] ) de longitud N donde X [ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$N$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$$N$ Pero estas fórmulas también se pueden usar cuandom,nestán fuera del rango [0,N-1]y si lo hacemos, llegamos a la conclusión de que length-N DFT puede verse como una transformación de unasecuenciaperiódicax[⋅] a otrasecuenciaperiódicaX[⋅

$$\begin{align*} X[m] &= \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,\\ x[n] &= \frac{1}{N}\sum_{m=0}^{N-1} X[m]\exp\left(\frac{j2\pi nm}{N}\right), ~ n = 0, 1, \ldots, N-1. \end{align*}$$ $m, n$$[0, N-1]$$N$$x[\cdot]$$X[\cdot]$, ambos extendiéndose al infinito en ambas direcciones, y que y ( X [ 0 ] , X [ 1 ] , … , X [ N - 1 ] ) son solo un período de estas secuencias infinitamente largas. Tenga en cuenta que estamos insistiendo en que x [ n + $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$$(X[0], X[1], \ldots, X[N-1])$ y X [ m + i N ] = X [ m ] para todos los m , n , y i .$x[n+iN] = x[n]$$X[m+iN] = X[m]$$m, n,$$i$

Por supuesto, esta no es la forma en que se manejan los datos en la práctica. Es posible que tengamos una secuencia muy larga de muestras, y las dividimos en bloques de longitud adecuada . Calculamos el DFT de ( x [ 0 ] , x [ 1 ] , … , x [ N - 1 ] ) como X ( 0 ) [ m ] = N - 1 ∑ k = 0 x [ k ] exp ( - $N$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ el DFT del siguiente fragmento(x[N],x[N+1],…,x[2N-1]) como X(1)[m]= N - 1 ∑ k=0x[k

$$X^{(0)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[N], x[N+1], \ldots, x[2N-1])$ el DFT del fragmento anterior(x[-N],x[-N+1],…,x[-1]) como X(-1)[m]= N - 1 ∑ k=0x $$X^{(1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k+N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $(x[-N], x[-N+1], \ldots, x[-1])$ etc. y luego jugamos con estos diversos DFT de los distintos fragmentos en los que hemos subdividido nuestros datos. Por supuesto, si los datos son de hecho periódicos con el períodoN, todos estos DFT serán los mismos. $$X^{(-1)}[m] = \sum_{k=0}^{N-1} x[k-N]\exp\left(\frac{-j2\pi mk}{N}\right), ~ m = 0, 1, \ldots, N-1,$$ $N$

$x[n] = x[-n]$$n$$x[-1] = x[1]$$x[-1] = x[-1+N] = x[N-1]$$x[-n] = x[n] = x[N-n]$ $(x[0], x[1], \ldots, x[N-1])$ whose DFT is a real even sequence (as stated by Lyons and explained very nicely by Hilmar) is necessarily of the form

$$(x[0], x[1], \ldots, x[N-1]) = (x[0], x[1], x[2], x[3], \ldots, x[3], x[2], x[1])$$ which is (apart from the leading $x[0]$) a palindromic sequence. If you are partitioning your data into blocks of length $N$ and computing the DFT of each block separately, then these separate DFTs will not have the symmetry properties described above unless the DFT is of a block with this palindromic property.

Just for even and odd function clarification,

Even : symmetric with respect to y axis Odd: symmetric with respect to origin

And without going into mathematical details, DFT of real valued function is symmetric, i.e. resultant Fourier function has both real and imaginary parts which are mirror images with respect to 0 frequency component. This doesn't happen in case where you take DFT of a complex function.