¿Cuál es la relación entre el sigma en el laplaciano de Gauss y los dos sigmas en la diferencia de Gauss?

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Entiendo que un filtro laplaciano de Gauss puede ser aproximado por un filtro de diferencia de Gauss, y que la relación de los dos sigmas para este último debe ser 1: 1.6 para la mejor aproximación. Sin embargo, no estoy seguro de cómo las dos sigmas en la Diferencia de gaussianos se relacionan con la sigma para el laplaciano de Gauss. ¿La sigma más pequeña en la primera es igual a la sigma de la segunda? ¿Es la sigma más grande? ¿O es la relación algo más?

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— cinética visual
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> Entiendo que un filtro Laplaciano de Gauss puede ser aproximado por un filtro de Diferencia de Gauss y que la relación de los dos sigmas para este último debe ser 1: 1.6 para la mejor aproximación. perdon con que referencia sabias esto?

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— Royi

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Entiendo que un filtro laplaciano de Gauss puede ser aproximado por un filtro de diferencia de Gauss, y que la relación de los dos sigmas para este último debe ser 1: 1.6 para la mejor aproximación

En teoría, cuanto menor es la relación entre dos sigmas, mejor es la aproximación. En la práctica, obtendrá errores numéricos en algún momento, pero siempre que utilice números de coma flotante, los valores más pequeños que 1.6 le darán una mejor aproximación.

Para ilustrar, he trazado una sección transversal de LoG y DoG para algunos valores de k en Mathematica:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Como puede ver, k = 1.6 no es una aproximación ideal. Por ejemplo, k = 1.1 daría una aproximación mucho más cercana.

Pero generalmente desea calcular aproximaciones de LoG para un rango de sigmas. (De lo contrario, ¿por qué molestarse con la aproximación DoG? Calcular una sola imagen filtrada LoG no es más costoso que calcular una sola imagen filtrada DoG). Por lo tanto, el valor de k generalmente se elige para que pueda calcular una serie de filtros gaussianos filtrados imágenes con sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., y luego calcular las diferencias entre gaussianos adyacentes. Entonces, si elige una k más pequeña, tendría que calcular más "capas" de gaussianos para el mismo rango sigma. k = 1.6 es una compensación entre querer una aproximación cercana y no querer calcular demasiados gaussianos diferentes.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo las dos sigmas en la Diferencia de gaussianos se relacionan con la sigma para el laplaciano de Gauss. ¿La sigma más pequeña en la primera es igual a la sigma de la segunda?

De las fórmulas en la página wiki @Libor vinculada a, puede ver que , por lo que el aproximado de un LoG para algunos sigma, necesita dos gaussianos con sigmas y (al menos en el límite ). O, en términos de k: $t=\sigma ^2$ $\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$ $\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$ $\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

— Niki Estner
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Lo siento si estoy equivocado, pero ¿no es así que calcular LoG en realidad es más costoso que DoG? desde gaussiano se puede separar en 2 1D filtros, es decir, la complejidad será lineal O (2n) en lugar de O polinomio (n ^ 2)

— user1916182

@ user1916182: Es cierto, un filtro LoG no es separable, per se. Pero tampoco lo es un filtro DoG. Pero ambas son sumas de dos filtros separables (dos gaussianos con diferente escala para el DoG, dos filtros derivados de Gauss de segundo orden para LoG). Usted hacer ahorrar tiempo con el perro si se puede utilizar el "más grande" de los dos gaussianas para el siguiente nivel de escala, por lo que tiene que calcular n + 1 gaussianas para n escalas, en contraste con los 2 * n filtros derivados gaussianos para n escalas logarítmicas .

— Niki Estner

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Tal vez las fórmulas aquí pueden ayudarte.

Dado que la representación del espacio de escala satisface la ecuación de difusión, el LoG puede calcularse como la diferencia entre dos segmentos de espacio de escala.

Por lo tanto, al derivar la fórmula DoG, primero aproximamos el LoG con diferenciación finita. Creo que la proporción específica para sigma proviene del hecho de que se toma un paso unitario en escala para aproximarse a LoG en primer lugar.

— Libor
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Gracias, pero ya los miré. No parecen decirme si sigma o k * sigma es el valor correspondiente al parámetro t (que es el mismo que el valor sigma para la ecuación laplaciana de Gauss).

— visual-cinética

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Está en algún punto intermedio: s <t <k * s. Dado que la diferencia (y (a) - y (b)) / (ba) se aproxima (cuando b - a -> 0) la derivada en (a + b) / 2. Sin embargo, dado que no está tomando el límite de k-> 1, esto es solo una aproximación y realmente no puede determinar el mejor sigma (a menos que defina un criterio de optimización específico).

— nimrodm