Nos gustaría calcular la relación cuantitativa entre el ruido analógico cerca de la frecuencia LO y las estadísticas de los puntos encontrados en el plano IQ después de la demodulación IQ. Para comprender completamente la pregunta, primero damos una descripción detallada del sistema de demodulación IQ.

Sistema de demodulación IQ

Un mezclador IQ toma señales a alta frecuencia y las lleva a una frecuencia más baja para que puedan procesarse más fácilmente. La figura 1 muestra un esquema de un mezclador IQ. La señal del oscilador local (LO) ) se usa para mezclar la señal de RF a una frecuencia más baja.$\cos(\Omega t$

Figura 1: Cadena completa de procesamiento de señal. La señal de frecuencia de microondas (y el ruido) entran en el mezclador IQ a través del puerto RF. Esta señal se mezcla con un oscilador local (LO) para convertir a señales de frecuencia intermedia y . Las señales de frecuencia intermedia se filtran para eliminar el componente de alta frecuencia restante (ver texto) y se muestrean digitalmente. La detección de la amplitud y fase de cada componente de frecuencia se realiza mediante una transformada discreta de Fourier en lógica digital.$I$$Q$

Señal coherente - caja de CC

Supongamos que en la señal de RF entrante se encuentran . Entonces las señales y serían Pasamos estas señales a través de filtros de paso bajo para eliminar los términos , obteniendo Como podemos ver, los dc y$M \cos(\Omega t + \phi)$$I$$Q$

$$\begin{align} I(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) + \frac{M}{2} \cos(2\Omega t + \phi) \\ Q(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) - \frac{M}{2} \sin(2\Omega t + \phi) \, . \end{align}$$ $2 \Omega$ $$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M}{2} \cos(\phi) \\ Q_F(t) &= -\frac{M}{2} \sin(\phi) \, . \end{align}$$ $I$$Q$Los voltajes pueden considerarse como las coordenadas cartesianas que dan la amplitud y la fase de la señal original. Por lo tanto, el mezclador ha hecho su trabajo al permitirnos encontrar la amplitud y la fase de una señal de alta frecuencia haciendo solo mediciones de baja frecuencia.

Señal coherente - caso ac

En la práctica, generalmente no demodulamos la señal de RF a CC. Hay varias razones para esto:

1. La densidad espectral del ruido casi siempre aumenta bruscamente a bajas frecuencias.

2. Si queremos medir simultáneamente la amplitud y la fase de varios componentes sinusoidales a diferentes frecuencias, no podemos demodular directamente a CC en la parte analógica del sistema.

Como ejemplo relacionado con el n. ° 2, podríamos tener Para encontrar la amplitud y fase de ambos componentes de frecuencia debemos usar un procesamiento de señal un poco más complejo. Las formas de onda y en este caso son Para encontrar ambas amplitudes y ambas fases, necesitamos esencialmente realizar una transformación de Fourier. Para hacer esto, digitalizamos las formas de onda, produciendo

$$\begin{equation} RF(t) = M_1 \cos([\Omega + \omega_1] t + \phi_1 ) + M_2 \cos([\Omega + \omega_2] t + \phi_2) \, . \end{equation}$$ $I_F$$Q_F$ $$\begin{align} I_F(t) &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 t + \phi_2) \\ Q_F(t) &= -\frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 t + \phi_2) \, . \end{align}$$ $$\begin{align} I_n &= \frac{M_1}{2} \cos(\omega_1 n \delta t + \phi_1) + \frac{M_2}{2} \cos(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \\ Q_n &= - \frac{M_1}{2} \sin(\omega_1 n \delta t + \phi_1) - \frac{M_2}{2} \sin(\omega_2 n \delta t + \phi_2) \end{align}$$ donde es el intervalo de muestreo digital. Luego, en lógica digital construimos la serie compleja definida por . Para las señales escritas arriba, esto es Si ahora, en lógica digital, calculamos la suma $\delta t$$z_n$$z_n \equiv I_n + i Q_n$ $$\begin{equation} z_n = \frac{M_1}{2} \exp \left( i \left[ \omega_1 n \delta t + \phi_1 \right] \right) + \frac{M_2}{2} \exp \left( i \left[ \omega_2 n \delta t + \phi_2 \right] \right) \, . \end{equation}$$ $$\begin{equation} Z(\omega_k) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} z_n e^{-i \omega_k n \delta t} \end{equation}$$ recuperamos la amplitud y fase del componente a la frecuencia . Por ejemplo, si calculamos obtendríamos .$\omega_k$$Z(\omega_1)$$(M_1/2) \exp(i \phi_1)$

ruido

En la práctica, la señal siempre viene con ruido. El efecto del ruido es hacer que una variable aleatoria en lugar de un valor determinista. En otras palabras, para cada es aleatorio y será diferente para cada realización del experimento.$Z(\omega)$ $\omega$ $Z(\omega)$

Podemos suponer por intuición que en presencia de ruido tiene una distribución simétrica circular en el plano IQ con una media igual al valor determinista . La pregunta es, ¿cuál es exactamente la distribución estadística de en presencia de ruido?$Z(\omega)$$(M/2)\exp(i \phi)$$Z$

Debido a que cada paso en la cadena de procesamiento es lineal, consideramos un caso con solo ruido y sin señal coherente. Denota el ruido . Las señales y son Expresamos el efecto del filtro como una convolución con la función de respuesta de tiempo , y de manera similar para . Tenga en cuenta que, debido a que el filtro es causal, para . El muestreo simplemente selecciona el valor de y$\xi(t)$$I$$Q$

$$\begin{align}\ I(t) &= \xi(t) \cos(\Omega t) \\ Q(t) &= - \xi(t) \sin(\Omega t) \, . \end{align}$$ $h$ $$\begin{equation} I_F(t) = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(t - t') \end{equation}$$ $Q_F$$h(t)=0$$t<0$$I_F$$Q_F$ en los momentos , y de manera similar para . Siguiendo la construcción descrita anteriormente para la parte digital de la cadena de procesamiento tenemos Nuestro problema es, por lo tanto, calcular las estadísticas de esta expresión.$\{ n \delta t \}$ $$\begin{equation} I_n = \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') \cos(\Omega t') h(n \delta t - t') \end{equation}$$ $Q_n$ $$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(t') e^{-i \Omega t'} h(n \delta t - t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$$

Cambiar variables produce En esta etapa podemos hacer una verificación de cordura calculando el valor promedio de . Recuerde, este es un promedio de conjunto . En otras palabras, estamos calculando el valor promedio de que encontraríamos convirtiendo muchas instancias de ruido demodulado en puntos IQ y luego tomando la media de todos esos puntos. En cualquier caso, el resultado es $n \delta t - t' \rightarrow t'$

$$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \xi(n \delta t - t') e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \, . \end{equation}$$ $Z(\omega)$$Z(\omega)$ $$\begin{align} \langle Z(\omega) \rangle &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^\infty dt' \, \underbrace{\langle\xi(n \delta t - t')\rangle}_0 e^{-i \Omega (n \delta t - t')} h(t') e^{-i \omega n \delta t} \\ &= 0 \, . \end{align}$$ Esto tiene sentido ya que esperamos que el ruido no cambie el valor promedio del punto IQ demodulado, sino que solo agregue algo de aleatoriedad centrada en el valor determinista.

No sé cómo calcular las estadísticas de directamente, por lo que adoptamos un enfoque alternativo calculando el cuadrado medio de . Según el teorema del límite central, las partes real e imaginaria de deberían estar distribuidas al menos aproximadamente en Guasiana (y, como señalaremos, no correlacionadas), por lo que encontrar el módulo cuadrado medio de nos dice todo lo que necesitamos saber.$Z(\omega)$$Z(\omega)$$Z$$Z$

Procedemos construyendo directamente y tomando el promedio estadístico (el promedio estadístico se denota por ). $|Z(\omega)|^2$$\langle \cdot \rangle$

$$\begin{align} \langle \left| Z(\omega) \right| ^2 \rangle &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') \langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'') \rangle e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \, . \qquad (*) \end{align}$$ $\xi(t)$$\langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle$$S_\xi$mediante la siguiente ecuación: uso de esta fórmula para produce $$\begin{equation} \langle \xi(\tau) \xi(0) \rangle = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} S_\xi(\omega) e^{i \omega \tau} \, . \end{equation}$$ $\langle \xi(n\delta t - t') \xi(m\delta t - t'')$ $$\begin{align} \langle|Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty dt' \, dt'' \, \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi}\frac{1}{N^2} \sum_{n,m=0}^{N-1} \nonumber \\ & e^{i\Omega (t' - t'')} h(t') h(t'') S_\xi(\omega') e^{i\omega' ((n-m)\delta t - (t' - t''))} e^{-i(\Omega + \omega)(n - m)\delta t} \\ &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \left| \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{-i(\Omega + \omega - \omega') n \delta t} \right|^2 \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \underbrace{ \frac{1}{N} \left( \frac{\sin([\Omega + \omega - \omega'] \delta t N / 2)}{\sin([\Omega + \omega - \omega']\delta t / 2)} \right)^2 }_{N^{\text{th}}\text{ order Fejer kernel}} \\ &= \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(\omega' - \Omega)|^2 S_\xi(\omega') \mathcal{F}_N([\Omega + \omega - \omega'] \delta t / 2) \\ \end{align}$$ donde es el núcleo Fejer de orden . Cambiando las variables obtenemos Hasta ahora, los resultados han sido exactos y se pueden encontrar resultados precisos mediante la evaluación numérica de las integrales. Ahora hacemos una serie de suposiciones relativamente débiles para llegar a una fórmula práctica. El kernel de Fejer tiene un peso concentrado cerca de . Por lo tanto, nos integramos sobre$\mathcal{F}_N$$N^{\text{th}}$$\Omega - \omega' \rightarrow \omega'$ $$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 S_\xi(\Omega - \omega') \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$$ $\mathcal{F}_N(x)$$x=0$$S_\xi$solo para frecuencias cercanas a y, por lo tanto, en esta integral, podemos aproximar como una constante , dando Ya podemos ver aquí que las estadísticas de ruido del punto IQ demodulado dependen solo de la densidad espectral de RF cerca de la frecuencia LO. Esto tiene sentido; El mezclador IQ está diseñado para tomar el contenido de la señal cerca de la frecuencia LO y reducirlo a un IF más bajo donde pueda procesarse. Los filtros antisolapamiento eliminan todos los componentes de frecuencia que están demasiado lejos del LO.$\Omega$$S_\xi$$S(\Omega - \omega') \approx S_\xi(\Omega)$ $$\begin{equation} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle = \frac{1}{2N} S_\xi(\Omega) \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} |h(-\omega')|^2 \mathcal{F}_N([\omega' + \omega]\delta t / 2) \, . \end{equation}$$

El primer nulo de ocurre en , y la mayor parte del peso está contenido en los primeros pocos lóbulos. Por lo tanto, los primeros valores nulos están en Esto significa que el más integral está dominada por frecuencias en un rango dado por la frecuencia de muestreo dividida por . En la mayoría de las aplicaciones prácticas, este rango es tan pequeño que es aproximadamente constante en este rango. Si ese es el caso, podemos reemplazar con (tenga en cuenta que ) encontrar $\mathcal{F}_N(x)$$x = 2\pi / N$

$$\begin{equation} \frac{\omega'_{\text{null}}}{2\pi} = - \frac{\omega}{2\pi} \pm \frac{1}{N \delta t} \, . \end{equation}$$ $\omega'$$N$$h(\omega)$$h(-\omega')$$h(\omega)$$h(-\omega) = h(\omega)$ $$\begin{align} \langle |Z(\omega)|^2 \rangle &= \frac{1}{2N}S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2 \underbrace{ \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \mathcal{F}_N([\omega' + \omega] \delta t / 2 N) }_{1 / \delta t} \\ &= \frac{S_\xi(\Omega)}{2 T} |h(\omega)|^2 \end{align}$$ donde es el tiempo total de medición.$T \equiv N \delta t$

Relación señal a ruido

Es razonablemente conocido que si una variable aleatoria tiene partes reales e imaginarias gaussianas y distribuidas independientemente, y tiene un módulo cuadrado promedio , entonces las distribuciones de las partes real e imaginaria de esa variable tienen desviación estándar . Por lo tanto, tomando nuestro resultado para , nuestra observación de que las partes real e imaginaria de están distribuidas en Gauss, y el hecho de que no están correlacionadas, sabemos que las desviaciones estándar de las distribuciones de las partes real e imaginaria son $Z$$R$$\sqrt{R/2}$$^{[a]}$$\langle |Z(\omega)|^2 \rangle$$Z$$^{[b]}$

$$\begin{equation} \sigma = \sqrt{S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4 T} \, . \end{equation}$$ Como se discutió al principio, una señal convierte en en el plano IQ. Por supuesto, ignoramos el efecto del filtro que es simplemente escalar la amplitud a Supongamos, como se ilustra en la Figura 2, estamos utilizando el sistema de demodulación IQ para distinguir entre dos o más señales, cada uno con una fase diferente pero con toda la misma amplitud . Debido al ruido, cada una de las amplitudes / fases posibles conduce a una nube de puntos en el plano IQ con distancia radial desde el origen. La distancia entre los centros de dos nubes es$M \cos([\Omega + \omega] t + \phi)$$(M/2)e^{i \phi}$ $$\begin{equation} Z(\omega) = \frac{M |h(\omega)|}{2} e^{i \phi} \, . \end{equation}$$ $M$$M |h(\omega)|/2$$g(M/2)|h(\omega)|$donde es un factor geométrico que depende de las fases de las nubes. Si el ángulo del arco entre dos nubes es y el centro de cada nube es equidistante del origen, entonces . Por ejemplo, si las dos fases son entonces . Geométricamente, esto se debe a que la distancia entre los centros de las nubes es dos veces mayor que la distancia de cualquiera de las nubes desde el origen.$g$$\theta$$g = 2 \sin(\theta / 2)$$\pm\pi/2$$g=2 \sin(\pi/2) = 2$

La relación señal / ruido (SNR) es donde es la potencia analógica entrante. Tenga en cuenta que la SNR no depende de . Para recordar este resultado, nota que la potencia de ruido es la densidad espectral multiplicada por un ancho de banda . Tomando , vemos que nuestro resultado simplemente dice que la SNR en el plano IQ es exactamente igual a la SNR analógica multiplicada por el factor geométrico .

$$\begin{align} \text{SNR} & \equiv \frac{\text{separation}^2}{2 \times (\text{cloud std deviation})^2} \\ &= \frac{(g M |h(\omega)|/2)^2}{2 S_\xi(\Omega) |h(\omega)|^2 / 4T} \\ &= \frac{(g M)^2 T}{2 S_\xi(\Omega)}\\ &= \frac{g^2 P T}{S_\xi(\Omega)} \, . \end{align}$$ $P \equiv M^2/2$$h$$B$$B = 1/T$$g^2$

Figura 2: Dos nubes IQ. La separación entre los centros de las nubes es proporcional a su magnitud radial , pero escalada por un factor geométrico . Proyectadas en la línea que conecta sus centros, cada nube se convierte en una distribución gaussiana con ancho .$M$$g$$\sqrt{S_\xi(\Omega)|h(\omega)|^2/4T}$

$[a]$ : Busque la distribución de chi cuadrado .

$[b]$ : Podemos ver que las partes reales e imaginarias de de hecho no están correlacionadas escribiendo el equivalente de la ecuación pero para . Al hacer esto, encontraríamos que la suma que se convirtió en el núcleo Fejer en el caso de iría a cero (al menos aproximadamente) porque sería aproximadamente la superposición de un seno y coseno, que son ortogonales$Z$$(*)$$\langle \Re Z \Im Z \rangle$$\langle |Z|^2 \rangle$