Propiedad de isometría restringida (RIP) en detección de compresión

¿Cuál es el significado de la condición de propiedad de isometría restringida (RIP) en la detección de compresión para análisis de señal dispersa? ¿Cómo podemos definir la constante de isometría restringida (RIC) para la condición RIP?

¡Gracias por adelantado!

compressive-sensing

— sintonizador
fuente

Consulte el artículo reciente para conocer las propiedades, la generalización y la utilidad del RIP en Compressed Sensing ... arxiv.org/abs/1410.1956

— Oliver

La propiedad de isometría restringida establece que:

(1 - δ_{S}) | | x | |_{2}^{2} \leq | | A x | |_{2}^{2} \leq (1 + δ_{S}) | | x | |_{2}^{2}

$\begin{equation} (1-\delta_S)||x||_2^2 \le ||A x||_2^2 \le (1+\delta_S)||x||_2^2 \end{equation}$ para cualquier

S

$S$ vector disperso

x

$x$ . La constante de isometría restringida es

δ_{S}

$\delta_S$ ,

0 < δ_{S} < 1

$0 < \delta_S < 1$ .

Esto significa que la matriz $A$ se garantiza que solo cambiará la longitud de cualquier vector $x$ "muy poco" mientras el vector $x$ Por lo menos $S$ -sparse (tiene como máximo $S$ coeficientes distintos de cero).

Supongamos que tenemos arbitrario $\frac{S}{2}$ vectores dispersos $x$ . Para poder reconstruir dichos vectores en general, a partir de mediciones tomadas como $y = A x$ , debemos asegurarnos de que sea posible distinguir entre mediciones $y_1 = A x_1$ y $y_2 = A x_2$ de cualquiera de estos dos vectores. Si $y_1 = y_2$ para cualquiera de estos dos vectores $x_1$ y $x_2$ , no podríamos distinguirlos y reconstruirlos sin ambigüedades. Por lo tanto, debemos asegurarnos de que las medidas de dos $\frac{S}{2}$ -los vectores dispersos son "suficientemente diferentes".

Si calculamos la diferencia entre dos $\frac{S}{2}$ vectores dispersos, su diferencia puede ser como máximo $S$ -escaso. Entonces, para reconstruir cualquier $\frac{S}{2}$ - dispersa el vector correctamente de las medidas tomadas con $A$ , la propiedad de isometría restringida cuantifica qué tan bien $A$ vamos a hacer eso (cuanto más pequeño $\delta_S$ , el mejor).

Para una introducción temprana a la detección comprimida y la propiedad de isometría restringida (y otros conceptos), vea Candès y Wakin, 2008 .

— Thomas Arildsen
fuente

Tengamos en cuenta también que la constante

δ_{S}

$\delta_{S}$ no necesita ser el mismo en ambos lados, por ejemplo, matriz de detección gaussiana. Por favor vea el artículo reciente. arxiv.org/abs/1410.1956

— Oliver

Si la propiedad dada se cumple para cualquier submatriz de

A

$A$ ?

— Dilawar

¿Se puede verificar la propiedad RIP para una matriz concreta en la práctica con un algoritmo?

— Charlie Parker el

@CharlieParker no, lamentablemente no. Implica calcular el SVD de todos los posibles

S

$S$ sub-matrices de columna de

A

$A$ . Esto se convierte rápidamente en un número poco realista de combinaciones para calcular, incluso para las de tamaño modesto.

A

$A$ . Y recuerde que la detección de compresión funciona mejor cuanto más grandes sean los tamaños de

A

$A$ y

x

$x$ .

— Thomas Arildsen