¿Cuál es el efecto del alias en la magnitud de la autocorrelación?

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Tengo una pregunta sobre el efecto del alias en la magnitud de las autocorrelaciones. A partir de una simulación en MATLAB, no veo ningún efecto de alias o ninguna necesidad de filtro anti-alias cuando tomo la magnitud de la autocorrelación. Lo que significa que puedo submuestrear los datos y luego tomar la autocorrelación. Hay un documento "Efectos de aliasing en estimaciones de momento espectral derivadas de la función de autocorrelación completa" que dice algo como lo que afirmo. ¿Alguien podría avisarme si he cometido un error?

— Hossein
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Diezmar antes de calcular la autocorrelación, en presencia de ruido, es inferior a calcular la autocorrelación utilizando el conjunto de datos completo. Suponga que la señal de interés está incrustada en el ruido blanco. El vector consiste en muestras de un proceso aleatorio discreto. La función de autocorrelación del vector es: $x[n], n = 0, 1, ..., N-1$ $x[n]$

A_{x} [k] = \frac{1}{N - k} \sum_{i = 0}^{N - 1 - k} x [i] x [i + k]

$A_x[k] = \frac{1}{N-k} \sum_{i=0}^{N-1-k} x[i]x[i+k]$

$k$ $D$ $0, D, 2D, ...$ $x[n]$ $D$ $x_d[n]$

A_{x_{d}} [k] = \frac{D}{N - k} \sum_{i = 0}^{\frac{N - 1 - k}{D}} x [i D] x [(i + k) D]

$A_{x_d}[k] = \frac{D}{N-k} \sum_{i=0}^{\frac{N-1-k}{D}} x[iD]x[(i+k)D]$

$D$ $N$

Su consulta puede ser escrita como:

A_{x} [k D] \overset{?}{\approx} A_{x_{d}} [k]

$A_x[kD] \stackrel{?}{\approx} A_{x_d}[k]$

\frac{1}{N - k D} \sum_{i = 0}^{N - 1 - k D} x [i] x [i + k D] \overset{?}{\approx} \frac{D}{N - k} \sum_{i = 0}^{\frac{N - 1 - k}{D}} x [i D] x [(i + k) D]

$\frac{1}{N-kD} \sum_{i=0}^{N-1-kD} x[i]x[i+kD] \stackrel{?}{\approx} \frac{D}{N-k} \sum_{i=0}^{\frac{N-1-k}{D}} x[iD]x[(i+k)D]$

$x[n]$

y [n] = x [n] x [n + k D]

$y[n] = x[n]x[n+kD]$

$x[n]$ $y[n]$ $kD$ $y[n]$ $\infty$

Por lo tanto, si hay ruido blanco presente en la señal (que suele ser el caso), obtendrá una mejor estimación de las estadísticas de segundo orden de la señal subyacente utilizando un tamaño de muestra más grande en el cálculo (esto puede sonar intuitivamente obvio). En el contexto de sus dos enfoques, esto se logra usando la señal completa no diezmada en el cálculo de autocorrelación y diezmando después (es decir, solo calculando el resultado para ciertos valores de retraso).

— Jason R
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Muchas gracias. Tienes razón, pero en caso de mi señal, no es el problema dominante. Mi problema es principalmente el efecto de alias. Usted explicó que la señal completa no diezmada puede ser mejor, pero si vamos a disminuir el efecto de aliasing deberíamos tomar incluso más muestras como dos (3) veces de número de muestras y realmente aumenta la complejidad.

— Hossein

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Me parece un poco extraño. El siguiente script de Matlab compara la "autocorrelación disminuida" con la "autocorrelación de las señales disminuidas". Para ondas sinusoidales dobles, esto en realidad se acerca bastante (error relativo de aproximadamente -50dB) pero para el ruido blanco es simplemente incorrecto (error relativo> +6 dB). Si bien puede haber alguna ventaja computacional, no me queda claro cuán útil es la autocorrelación disminuida incluso en el caso de doble onda sinusoidal. Los picos en el espectro todavía aparecen en el lugar equivocado.

% script to check whether autocorrelation is immune to aliasing
% create two sine waves at 18k and 21k (assuming sample rate of 444.1k) 
n = 8192;
t = (0:n-1)'/44100;
x = sin(2*pi*t*21000)+sin(2*pi*t*18000);
% calculate autocorrelation of original signal and one that's downsampled
% by 4 and thus heavily aliased
y = xcorr(x,x);
y2 = xcorr(x(1:4:end),x(1:4:end));
d = y(4:4:end)-4*y2;
% calculate the error in dB
err = 10*log10(sum(d.^2)./sum(y2.^2));
fprintf('Dual sine wave relative error = %6.2f dB\n',err);

%% try the same thing for white noise
x = 2*rand(n,1)-1;
y = xcorr(x,x);
y2 = xcorr(x(1:4:end),x(1:4:end));
d = y(4:4:end)-4*y2;
err = 10*log10(sum(d.^2)./sum(y2.^2));
fprintf('White noise relative error = %6.2f dB\n',err);

— Hilmar
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Muchas gracias, pero el lugar de los picos en la autocorrelación es importante para mí y, por lo tanto, no estoy seguro de que este código muestre mi problema. Pero como usted señala mientras el espectro cambia, nos enfrentamos a pequeños cambios en el dominio del tiempo similares a lo que dice el artículo.

— Hossein

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Para tipos específicos de entradas, el efecto del alias de frecuencia en la magnitud de las autocorrelaciones puede ser insignificante. Sin embargo, no creo que esto sea cierto en general.

Por ejemplo, para una entrada de banda limitada o para ruido blanco, el submuestreo no afectará la forma de la autocorrelación (aunque podría cambiar la escala de forma predictiva). La autocorrelación del ruido blanco es un delta y seguirá siendo un delta si se muestrea hacia abajo.

Ahora, el espectro de potencia está relacionado con la autocorrelación por la transformada de Fourier. Entonces, si su reclamo sería verdadero, parece que también podría afirmar que el alias de frecuencia no cambia el contenido de frecuencia de la entrada. Y esto no es cierto. Pero puede haber excepciones (casos especiales).

— niaren
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