Compare directamente los cambios de subpíxeles entre dos espectros y obtenga errores creíbles

Tengo dos espectros del mismo objeto astronómico. La pregunta esencial es esta: ¿cómo puedo calcular el cambio relativo entre estos espectros y obtener un error preciso en ese cambio?

Algunos detalles más si todavía estás conmigo. Cada espectro será una matriz con un valor x (longitud de onda), valor y (flujo) y error. El cambio de longitud de onda va a ser subpíxel. Suponga que los píxeles están espaciados regularmente y que solo se aplicará un cambio de longitud de onda a todo el espectro. Entonces, la respuesta final será algo así como: 0.35 +/- 0.25 píxeles.

Los dos espectros serán una gran cantidad de características continuas sin características puntuadas por algunas características de absorción (inmersiones) bastante complicadas que no se modelan fácilmente (y no son periódicas). Me gustaría encontrar un método que compare directamente los dos espectros.

El primer instinto de todos es hacer una correlación cruzada, pero con los cambios de subpíxeles, tendrás que interpolar entre los espectros (¿suavizando primero?); Además, los errores parecen desagradables para acertar.

Mi enfoque actual es suavizar los datos convolucionando con un núcleo gaussiano, luego dividir el resultado suavizado y comparar los dos espectros divididos, pero no confío en ello (especialmente los errores).

¿Alguien sabe de una manera de hacer esto correctamente?

Aquí hay un breve programa de Python que producirá dos espectros de juguete que se desplazan por 0.4 píxeles (escritos en toy1.ascii y toy2.ascii) con los que puedes jugar. Aunque este modelo de juguete utiliza una característica gaussiana simple, suponga que los datos reales no pueden ajustarse a un modelo simple.

import numpy as np
import random as ra
import scipy.signal as ss
arraysize = 1000
fluxlevel = 100.0
noise = 2.0
signal_std = 15.0
signal_depth = 40.0
gaussian = lambda x: np.exp(-(mu-x)**2/ (2 * signal_std))
mu = 500.1
np.savetxt('toy1.ascii', zip(np.arange(arraysize), np.array([ra.normalvariate(fluxlevel, noise) for x in range(arraysize)] - gaussian(np.arange(arraysize)) * signal_depth), np.ones(arraysize) * noise))
mu = 500.5
np.savetxt('toy2.ascii', zip(np.arange(arraysize), np.array([ra.normalvariate(fluxlevel, noise) for x in range(arraysize)] - gaussian(np.arange(arraysize)) * signal_depth), np.ones(arraysize) * noise))

Creo que usar correlación cruzada e interpolar el pico funcionaría bien. Como se describe en ¿Es inútil el muestreo previo antes de la correlación cruzada? , interpolar o muestrear antes de que la correlación cruzada en realidad no le brinde más información. La información sobre el pico de submuestra está contenida en las muestras a su alrededor. Solo necesita extraerlo con un error mínimo. Reuní algunas notas aquí .

El método más simple es la interpolación cuadrática / parabólica, de la cual tengo un ejemplo de Python aquí . Supuestamente es exacto si su espectro se basa en una ventana gaussiana , o si el pico cae exactamente en el punto medio entre muestras, pero por lo demás tiene algún error . Entonces, en su caso, probablemente quiera usar algo mejor.

Aquí hay una lista de estimadores más complicados, pero más precisos. "De los métodos anteriores, el segundo estimador de Quinn tiene el menor error RMS".

No sé las matemáticas, pero este artículo dice que su interpolación parabólica tiene una precisión teórica del 5% del ancho de un contenedor FFT.

El uso de la interpolación FFT en la salida de correlación cruzada no tiene ningún error de sesgo , por lo que es lo mejor si desea una precisión realmente buena. Si necesita equilibrar la precisión y la velocidad de cálculo, se recomienda hacer una interpolación FFT y luego seguirla con uno de los otros estimadores para obtener un resultado "suficientemente bueno".

Esto solo usa el ajuste parabólico, pero genera el valor correcto para el desplazamiento si el ruido es bajo:

def parabolic_polyfit(f, x, n):
    a, b, c = polyfit(arange(x-n//2, x+n//2+1), f[x-n//2:x+n//2+1], 2)
    xv = -0.5 * b/a
    yv = a * xv**2 + b * xv + c

    return (xv, yv)

arraysize = 1001
fluxlevel = 100.0
noise = 0.3 # 2.0 is too noisy for sub-sample accuracy
signal_std = 15.0
signal_depth = 40.0
gaussian = lambda x: np.exp(-(mu-x)**2/ (2 * signal_std))
mu = 500.1
a_flux = np.array([ra.normalvariate(fluxlevel, noise) for x in range(arraysize)] - gaussian(np.arange(arraysize)) * signal_depth)
mu = 500.8
b_flux = np.array([ra.normalvariate(fluxlevel, noise) for x in range(arraysize)] - gaussian(np.arange(arraysize)) * signal_depth)

a_flux -= np.mean(a_flux)
b_flux -= np.mean(b_flux)

corr = ss.fftconvolve(b_flux, a_flux[::-1])

peak = np.argmax(corr)
px, py = parabolic_polyfit(corr, peak, 13)

px = px - (len(a_flux) - 1)
print px

El ruido en su muestra produce resultados que varían en más de una muestra completa, así que lo reduje. Ajustar la curva usando más puntos del pico ayuda a ajustar un poco la estimación, pero no estoy seguro de si eso es estadísticamente válido, y en realidad empeora la estimación para la situación de menor ruido.

Con ruido = 0.2 y ajuste de 3 puntos, da valores como 0.398 y 0.402 para desplazamiento = 0.4.

Con ruido = 2.0 y ajuste de 13 puntos, da valores como 0.156 y 0.595 para desplazamiento = 0.4.