¿Cuál es el verdadero significado de un sistema de fase mínima?

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¿Cuál es el verdadero significado de un sistema de fase mínima ? Leer el artículo de Wikipedia y Oppenheim es de alguna ayuda, ya que entendemos que para un sistema LTI , la fase mínima significa que el inverso es causal y estable. (Eso significa que los ceros y los polos están dentro del círculo unitario), pero ¿qué tienen que ver "fase" y "mínimo"? ¿Podemos decir que un sistema es de fase mínima al observar de alguna manera la respuesta de fase del DFT?

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— TheGrapeBeyond
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¡Bienvenido al procesamiento de señales! Esta es una gran pregunta. Asegúrese de leer nuestras preguntas frecuentes que contienen mucha información útil sobre el sitio.

— Phonon

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La relación de "mínimo" a "fase" en un sistema o filtro de fase mínima se puede ver si traza la fase sin envolver contra la frecuencia. Puede usar un diagrama de polo cero de la respuesta del sistema para ayudar a hacer un gráfico gráfico incremental de la respuesta de frecuencia y el ángulo de fase. Este método ayuda a hacer un diagrama de fase sin discontinuidades de ajuste de fase.

Coloque todos los ceros dentro del círculo unitario (o en el semiplano izquierdo en el caso de tiempo continuo), donde todos los polos también deben estar para la estabilidad del sistema. Sume los ángulos de todos los polos, y el negativo de los ángulos de todos los ceros, para calcular la fase total a un punto en el círculo unitario, a medida que ese punto de referencia de respuesta de frecuencia se mueve alrededor del círculo unitario. Trazar fase vs. frecuencia. Ahora compare esta gráfica con una gráfica similar para un diagrama de polo cero con cualquiera de los ceros intercambiados fuera del círculo unitario (fase no mínima). La pendiente promedio general de la línea con todos los ceros adentro será más baja que la pendiente promedio de cualquier otra línea que represente la misma respuesta del sistema LTI (por ejemplo, con un cero reflejado fuera del círculo unitario). Esto se debe a que los "enrollamientos" en el ángulo de fase se cancelan principalmente por el "

Esta disposición, todos los ceros dentro del círculo de la unidad, corresponde al aumento total mínimo de fase, que corresponde al retardo de fase total promedio mínimo, que corresponde a la compactación máxima en el tiempo, para cualquier conjunto de polos y ceros dado (estable) con exactamente la misma respuesta de magnitud de frecuencia. Así, la relación entre "mínimo" y "fase" para esta disposición particular de polos y ceros.

También vea la imagen de mi antigua palabra con manijas extrañas en los antiguos archivos de usenet comp.dsp: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

— hotpaw2
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Hmm, interesante, entonces podemos decir que un sistema es de fase mínima al observar la respuesta de fase de su DFT y luego parece, ¿correcto?

— Spacey

@Mohammad: Un problema con el uso de un DFT para la respuesta de fase es la fase de desempaquetado, que puede o no tener una solución de forma única o cerrada. (Especialmente un problema si hay "discontinuidades" en la respuesta al impulso.)

— hotpaw2

@ hotpaw2 Con el desenvolvimiento estamos deshaciendo el módulo 2 * pi o -2 * pi, (dos formas de hacerlo), pero aun así no pensé que sería un problema.

— Spacey

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hotpaw- Gran analogía. Tengo un libro que usa el Principio de Argumento del análisis complejo en su lugar. Es una prueba elegante, pero no para no matemáticos.

— Bryan

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@Bryan Esto parece muy interesante. ¿Cuál es el título del libro?

— shamisen

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Como ya has visto, la fase mínima tiene muchos significados e implicaciones físicas. De donde proviene la fase es que, para una magnitud dada de respuesta de frecuencia, corresponde al filtro que tiene la menor cantidad de retraso de grupo. Es decir, puede tener varios filtros con la misma magnitud de respuesta de frecuencia, pero uno de ellos puede realizarse con la menor cantidad de retraso de filtro. En este sentido, es muy deseado en los sistemas de control donde el retraso del filtrado puede ser crítico para la estabilidad. Estoy abusando de alguna notación aquí, ya que la fase "demora" puede tener muchos significados, pero la esencia está ahí (y para la demora grupal, es un hecho).

En otros reinos, si un sistema es una fase mínima, su inverso tendrá todos sus polos dentro del círculo unitario y será causal. Entonces, un sistema de fase mínima tiene un inverso estable. Esto es importante en muchas otras aplicaciones por razones obvias. Si debe resolver un sistema lineal de ecuaciones, saber que el sistema tiene una fase mínima garantiza que su inversa será la fase mínima, por lo que la estabilidad está garantizada (fuera de cualquier efecto de cuantificación).

Puede no ser obvio si un sistema es una fase mínima al mirar el DFT. Existe una relación entre la magnitud de un sistema de fase mínima y su fase, pero puede no ser visualmente obvio. Sin embargo, los filtros reticulares adaptativos tienen la característica clara de que los filtros de fase mínima se identifican fácilmente si todos los coeficientes de reflexión son menores o iguales a uno en magnitud. De esa forma, los filtros calculados de forma adaptativa se pueden determinar si son estables sobre la marcha con poca lógica.

— Bryan
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s

$s$

Ah sí, excelente punto. Para aquellos que no están familiarizados con la transformación bilineal (que efectivamente mapea el plano s izquierdo en el círculo unitario en el plano z), esa es una distinción importante. Gracias.

— Bryan

1

La "relación" entre la amplitud logarítmica y la fase mínima es la transformación de Hilbert

— Hilmar

El filtro de fase mínimo parece ser IIR, pero ¿qué tan mínimo es su fase en comparación con FIR?

— TheGrapeBeyond

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z_{i}

$z_i$

| z_{i} | > 1

$|z_i| > 1$

z_{i}

$z_i$

\frac{1}{z_{i}^{*}}

$\frac{1}{z_i^*}$

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\sum_{i = 0}^{k} h [i]^{2} = m i n, k ϵ N

$\sum_{i=0}^{k}h[i]^2 = min, k\epsilon \mathbb{N}$

— Hilmar
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h [n]

$h[n]$

2

Leyendo

Este artículo parece tener cierta sabiduría sobre el tema de los sistemas de fase mínima:

John Bechhoefer, " Kramers-Kronig, Bode y el significado de cero ", American Journal of Physics 79 , 10 (2011).

— nibot
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