Mejora de la digitalización agregando ruido blanco antes del sobremuestreo

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Estaba leyendo un libro de física y decía que al digitalizar una señal se agregaba ruido blanco para mejorar el proceso. No entiendo cómo funciona esto. Por eso mi pregunta es:

Al digitalizar una señal analógica, ¿cómo puede ser beneficioso agregar ruido cuando se combina con sobremuestreo a tiempo?

noise digitize dithering

— Siberiano
fuente

¿Estás hablando de vacilaciones? Ver en.wikipedia.org/wiki/Dither para más información.

@DavidZ Si esto fuera de tema, ¿por qué ya hay tantas respuestas? Varias personas han dicho en el meta que les gusta mantener las preguntas de matemáticas siempre que sean relevantes para la física. ¿Por qué debería diferir ese proceso de pensamiento para otros temas?

— DanielSank

@DanielSank porque una pregunta fuera de tema no impide que la gente responda. Si cree que las preguntas sobre el procesamiento de señales deberían estar en el tema, y cree que la comunidad está de acuerdo con usted, tómelo en meta y haga una publicación proponiendo ese cambio en el alcance del sitio.

— David Z

Los experimentadores tienen que lidiar hasta cierto punto con los caprichos del muestreo digital. No estoy exactamente de acuerdo con mover una pregunta de un sitio graduado (intercambio de pila de física) a un sitio beta (este sitio), pero lo que está hecho está hecho. Esperemos que esta migración atraiga la atención de personas con mayor conocimiento. Mi conocimiento con respecto a las señales limpias es anterior al milenio. La última vez que tuve que trabajar con señales del mundo real no solo tuve un problema de baja señal a ruido. Tuve un problema de exceso de ruido de señal a señal. Tratar con eso fue bastante divertido (en un sentido masoquista).

— David Hammen

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Agregar ruido no correlacionado (es decir, blanco) a una señal analógica antes de la digitalización se denomina interpolación . Para entender por qué haríamos esto, necesitamos comprender la idea del ruido de cuantización . Considere un sistema analógico que tiene señales que varían en amplitud de 0 a 100. Supongamos que digitalizamos esta señal con un digitalizador cuyos niveles digitales están separados por 1. En otras palabras, los posibles niveles digitalizados son

{- 100, - 99, - 98 ... 99, 100} .

$\left\{ -100, -99, -98 \ldots 99, 100 \right\} \, .$

Ahora supongamos que la señal analógica $s(t)$ es una señal DC de valor 0.8, en otras palabras

s (t) = 0.8 .

$s(t) = 0.8 \, .$

Si ponemos esto en el digitalizador, el digitalizador lo redondeará a 1 y nuestras muestras digitales $s_n$ estarán

s_{norte} = 1 .

$s_n = 1\,.$

Esto no es bueno porque ahora nuestra señal digital acumula error a medida que adquirimos más señal. El nivel digitalizado siempre es demasiado alto, por lo que cuanto más tiempo promediamos la señal, más sobreestimamos el nivel analógico.

Agregar ruido blanco ayuda a solucionar este problema porque empuja el nivel analógico de tal manera que cruza los niveles de digitalización vecinos. Por lo tanto, a medida que promedia un conjunto de valores digitalizados, en realidad obtiene algo que está cerca del verdadero nivel analógico. Veamos esto a través del ejemplo.

Supongamos que el ruido que agregamos es gaussiano distribuido con $\sigma=2$ . Entonces la distribución de la señal analógica es

pags (X) \propto Exp [\frac{- (X - s (t))^{2}}{2 σ^{2}}] = Exp [\frac{- (X - 0.8)^{2}}{8}] .

$p(x) \propto \exp \left[ \frac{-(x - s(t))^2}{2\sigma^2} \right] = \exp \left[ \frac{-(x-0.8)^2}{8} \right] \, .$

Ahora calculamos el valor digital promedio $\langle s_n \rangle$ promediando $p(x)$ sobre los enteros. La constante de normalización para la distribución es

norte = \sum_{metro = - 100}^{100} Exp [\frac{- (metro - 0.8)^{2}}{8}]

$N = \sum_{m=-100}^{100} \exp \left[ \frac{-(m-0.8)^2}{8} \right]$ y entonces tenemos

⟨ s_{norte} ⟩ = \frac{1}{norte} \sum_{metro = - 100}^{100} metro Exp [\frac{- (metro - 0.8)^{2}}{8}] = 0.79999 ...

$\langle s_n \rangle = \frac{1}{N} \sum_{m=-100}^{100} m \exp\left[ \frac{-(m-0.8)^2}{8}\right] = 0.79999\ldots$ Por lo tanto, puede ver que al agregar el ruido blanco, la señal digitalizada promedio coincide más con el verdadero valor analógico.

Por supuesto, agregar el ruido empeora la relación señal / ruido. Eso significa tener una alta probabilidad de medir el $\langle s_n\rangle$ acabamos de calcular, debe tomar más muestras de las que podría pensar en el caso silencioso. Esta es la razón por la que escuchas sobre sobremuestreo y vacilaciones al mismo tiempo. Debido a que el ruido de oscilación no está realmente correlacionado, tomar más muestras siempre ayuda a mejorar la relación señal / ruido, incluso si está muestreando muy por encima del ancho de banda de la señal analógica entrante.

— DanielSank
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Dithering (agregando ruido intencionalmente) la señal de entrada combinada con el sobremuestreo puede (¡sin garantías!) Mejorar el número efectivo de bits en la señal y aumentar la relación señal / ruido.

Suponiendo que el proceso subyacente es un proceso de ruido blanco, la señal digitalizada aún se verá como ruido blanco si el nivel de cuantificación está bien dentro del ruido. Esto es en general algo bueno. El ruido blanco tiene propiedades matemáticas bastante agradables. Tratar con el ruido de cuantificación no lineal dependiente de la señal es difícil. Ese ruido de cuantificación generalmente puede ignorarse si el nivel de cuantificación está bien dentro del ruido.

¿Qué pasa si el nivel de cuantización no está bien dentro del ruido? Ahora tiene que lidiar con un ruido de cuantización desordenado. Una forma de lidiar con esto es usar un ADC de mayor resolución y hacer que la cuantización sea muy ruidosa. Una alternativa es agregar intencionalmente ruido blanco a la señal de entrada para que el ruido de cuantificación de su ADC barato sea pequeño en comparación con el ruido de señal (difuminado).

La idea básica es difuminar la señal de entrada para que el ruido en la señal diferida domine sobre el ruido de cuantificación (pero obviamente no demasiado). La señal intermitente se sobremuestrea intencionalmente y luego se disminuye la muestra promediando dos o más mediciones sucesivas. Este promedio solo compra algo si la señal de entrada es ruidosa en comparación con el ruido de cuantización. El ruido de cuantificación promedio se parece al ruido de cuantización. El promedio del ruido blanco permite que la señal salga del ruido.

Para obtener más información, lea el tutorial de Walt Kester Los aspectos buenos, malos y feos del ruido de entrada ADC: ¿No hay ruido buen ruido? .

— David Hammen
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@DanielSank Si él preguntó específicamente sobre el ruido blanco, entonces dar una respuesta sobre el ruido de cuantización no sería responder a la pregunta que se hizo.

— El fotón

@ThePhoton: ¡Ack! Eso fue un error tipográfico. Pidió la densidad espectral del ruido de cuantización . Ugh, y ahora no puedo editar el comentario.

— DanielSank

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Volver a publicar el comentario con una solución: el hecho de que el ruido de cuantización no sea aditivo me metió en problemas en una entrevista de trabajo. El tipo preguntó "¿cuál es la densidad espectral del ruido de cuantización"? Le expliqué que realmente no tiene una densidad espectral e intenté mostrarle por qué, pero no lo consiguió. Creo que solo quería la respuesta enlatada para el caso en el que supones que los niveles digitales ya están en el ruido analógico (como se menciona en tu respuesta) en cuyo caso el ruido de digitalización es blanco, como tú dices.

— DanielSank

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Sí, agregar ruido no correlacionado a una señal, luego promediar múltiples muestras, es una forma de lidiar con el ruido de cuantización.

Para hacer esto obvio, piense en el caso limitante. Desea medir el valor de una señal entre 0 y 1, pero todo lo que tiene es un A / D de 1 bit. La salida A / D es 0 cuando la señal es de 0 a .5, y 1 cuando la señal es de .5 a 1.

Ahora considere una señal que es .3. Con una buena limpieza de .3 in, el A / D siempre producirá 0. No puede distinguir entre una señal de entrada de .1, .25, .3, etc., por ejemplo.

Ahora agregue ruido aleatorio de ± .5. La señal vista por el A / D ahora estará en algún lugar de -.2 a .8. Una salida 0 tiene una probabilidad de .7 y una salida 1 de .3. Cualquier lectura no le dirá mucho (a diferencia de antes cuando le dijo que la señal era de 0 a .5), pero después de un montón de lecturas se obtiene una idea razonable de la señal. Por ejemplo, si toma 100 lecturas, alrededor de 30 serán 1 y 70 serán 0. No hay garantía de esto, pero cuantas más lecturas promedie, mayor será la confianza de que el resultado promedio representa la señal.

Por lo tanto, el dithering es un medio de intercambiar certeza y ancho de banda para obtener resolución. Tenga en cuenta que no importa cuántas lecturas tome, no sabe que la señal está dentro de algún límite, solo que la probabilidad de que esté dentro de algún límite es alta. También tenga en cuenta que ha perdido ancho de banda ya que se requieren muchas muestras para obtener un valor de señal. Sin embargo, en muchos casos se trata de compensaciones útiles.

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Las respuestas anteriores, titubeando, son correctas, pero me gustaría señalar explícitamente que está negociando explícitamente la resolución por tiempo. Un equilibrio entre tiempo y precisión. El caso más dramático son los convertidores delta-sigma. Tienen (bueno, probablemente hay excepciones) 1 bit de precisión, pero al hacer overclocking en la conversión pueden extraer 24 bits, más o menos, de resolución. En este caso, evitan el equilibrio haciendo overclocking (mucho).

Por supuesto, muchas otras técnicas se utilizan en convertidores reales; Pero el principio se aplica.

— rrogers
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Hace mucho tiempo (finales de los 80), necesitábamos la capacidad de crear un espectro de energía de radiación entrante como parte de una cámara gamma que se usa en medicina nuclear. Esto requería un ADC rápido con excelente linealidad diferencial (básicamente, cada "bin" del ADC tiene que ser exactamente del mismo ancho o la señal analógica, que se distribuye continuamente, le dará un "golpe" en un bin que es un poco demasiado ancho, y esto podría parecer un pico espectral).

La solución fue una variante interesante en el tramado: teníamos un DAC pequeño y un contador, y lo usamos para agregar un conocido cantidad de señal a la entrada. La señal de suma se digitalizó luego usando un ADC rápido con (relativamente) linealidad diferencial pobre, y el valor del DAC se restó nuevamente después de la conversión; después de esto, el contador (entrada al DAC) se incrementó en 1 (con desbordamiento restableciéndolo a cero). El resultado de esto fue que un voltaje del mismo valor se convertiría en uno de los muchos contenedores, reduciendo en efecto la no linealidad diferencial del ADC por el tamaño del contador DAC.

Podría hacer lo mismo con el ruido aleatorio, pero si no sabe qué ruido está agregando, por supuesto está degradando su señal. Cuando el ruido es aproximadamente del tamaño de un único contenedor en el ADC, y puede tomar múltiples mediciones, esto lo ayudará a estimar una señal mejor que la resolución del ADC, suponiendo que pueda confiar en la linealidad diferencial. Pero al agregar una señal "aleatoria" conocida (aunque utilizamos un contador, era "aleatorio en el tiempo" qué valor estaría presente para una conversión en particular) y tener en cuenta su valor le permite una precisión aún mayor.

— Floris
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