¿Expresión analítica para los vectores propios de una matriz simétrica real de 3x3?

Estoy escribiendo un algoritmo que procesa imágenes en 3D basadas en el momento local de inercia.

Tengo una matriz simétrica real de 3x3, a partir de la cual necesito encontrar los valores propios. He encontrado una variedad de algoritmos genéricos para la diagonalización de matrices, pero no pude saber si existe una expresión analítica para los 3 vectores propios de dicha matriz.

¿Alguien experto en matemáticas lo sabe?

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Para el registro aquí está lo que he encontrado en la pregunta yo mismo. Como dijo Matthias Odisio, no puede llegar a una expresión analítica simple tan pronto como tenga una matriz 3x3.

Sin embargo, he encontrado un documento dedicado para el caso especial de matrices hermitianas 3x3, donde se comparan varios enfoques numéricos especializados:

http://arxiv.org/abs/physics/0610206

Aquí está el código C y Fortran del documento:

http://www.mpi-hd.mpg.de/personalhomes/globes/3x3/index.html

3d matrix

— Jean-Yves
fuente

Wolfram | Alpha ha facilitado estas cosas :

ingrese la descripción de la imagen aquí

— Matthias Odisio
fuente

Agradable. No sabía que podía hacer cosas así en la herramienta gratuita en línea. Tendré que echarle un vistazo para ver cuánto de Mathematica te da.

— Jason R

¡Ay! Supongo que es por eso que la gente recurre a la resolución numérica. Esto es apenas legible. Además de eso, veo números imaginarios allí. Supongo que debería haber agregado que a, bc, d, e y f eran reales. ¿Puedes hacer eso en Mathematica?

— Jean-Yves

Mathematica tiene una forma integral de definir "operadores fundamentales" (Sqrt, Power, Log, etc.) para números complejos (problemas de corte de rama, etc.). Tenga la seguridad de que, independientemente de los valores reales con los que reemplace los símbolos 'a', ..., 'f', los vectores propios serán reales (es decir, sus partes imaginarias serán menores que, digamos, 10 ^ -12).

— Matthias Odisio

He descubierto que puedes construir tales suposiciones usando una sintaxis como "un [Elemento] Reals". Pero a partir de ahora, necesito una licencia de Mathematica, que no tengo;)

— Jean-Yves

Es necesario expresar las cantidades usando números complejos, incluso si las entradas a, ..., f son números reales. Un colega me señaló a en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis, lo que explica el problema.

— Matthias Odisio