¿La inestabilidad hace que un sistema LTI no lineal (o variante de tiempo)?

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Estoy desviando esta pregunta de la pregunta de Johnny . Matt L. y yo hemos tenido conclusiones directamente opuestas a la pregunta de Johnny.

Quiero desacoplar la pregunta de los problemas de causalidad y otras cosas tontas.

Entonces tenemos un sistema recursivo de primer orden simple descrito con la ecuación de E / S en el dominio del tiempo:

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n] \forall n \in Z

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n] \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z}$

Por supuesto, la transformación Z de esto es

Y (z) = p \cdot z^{- 1} Y (z) + X (z)

$Y(z) = p \cdot z^{-1} Y(z) \ + \ X(z)$

y función de transferencia

H (z) ≜ \frac{Y (z)}{X (z)} = \frac{z}{z - p}

$H(z) \triangleq \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{z}{z-p}$

Normalmente identificaríamos esto como un sistema LTI simple y realizable con un cero en y un polo en . Pero en la otra pregunta, hay un problema con respecto a la linealidad y la invariancia temporal para el caso cuando . $0$ $p$ $p=-1 \$

¿Para qué valores $p$ es este sistema lineal? ¿Para qué valores $p$ es este sistema invariante en el tiempo?

Este es, creo, el núcleo del desacuerdo que tengo con el Dr. Matt L.

linear-systems transfer-function

— robert bristow-johnson
fuente

Si lo expandimos a su forma de abeto. Teóricamente el sistema es siempre lineal.

— alumno

okay @learner, entonces si , entonces MattL sugiere que puede tener para la entrada la salida incluyendo no cero . la entrada es idénticamente cero, la salida no es cero. ¿Puede ese sistema ser lineal?

p = - 1

$p=-1$

x [n] = 0 \forall n

$x[n]=0 \ \forall n$

y [n] = A (- 1)^{n} \forall A \in R

$y[n] = A (-1)^n \quad \forall A \in \mathbb{R}$

A

$A$

— robert bristow-johnson

1

Por favor aclare: ¿ para qué enteros tiene la relación ? Para todos los enteros ? Para ? Para ? Y en los últimos dos casos, especifique cuál es el valor de (respectivamente ) ya que estamos de acuerdo en que o .

n

$n$

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n]

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n]$

n

$n$

n \geq 0

$n \geq 0$

n > 0

$n > 0$

y [- 1]

$y[-1]$

y [0]

$y[0]$

y [0] = - p y [- 1] + x [0]

$y[0]=-py[-1]+x[0]$

y [1] = - p y [0] + x [1]

$y[1]=-py[0]+x[1]$

— Dilip Sarwate

1

Nunca le había puesto una restricción. en la otra pregunta, fui explícito que . Debería haberlo dicho aquí, pero no lo hice. Así que modificaré la pregunta. En mi opinión, si no se especifica, la suposición es que no hay restricción.

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$

— robert bristow-johnson

y como puede derivar o cualquier otra específica a partir de eso. si asumes causalidad, obtienes un derecho . si asume la anti-causalidad (que no es la forma en que establecí la ecuación de diferencia), obtiene una lado izquierdo . en cualquier caso, eso afecta un límite u otro para la suma de convolución.

y [n] = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h [i] x [n - i]

$y[n] = \sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} h[i] x[n-i]$

y [0]

$y[0]$

y [n]

$y[n]$

h [n]

$h[n]$

h [n]

$h[n]$

— Robert Bristow-Johnson

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No sé cómo llegó la discusión a este punto, pero es bastante complicado seguirlo después de tanto tiempo. Es una ecuación de diferencia ordinaria con coeficientes constantes que define un sistema lineal invariante en el tiempo. No hay necesidad de seguir adelante si existe una solución única . Aquí tenemos un problema con la parte enfatizada.

Primero escribamos las ecuaciones del espacio de estado del descriptor: el sistema se describe mediante

\begin{aligned} [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s_{1} [k + 1] \\ s_{2} [k + 1] \end{matrix}] & = [\begin{matrix} p & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s_{1} [k] \\ s_{2} [k] \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] x [k] \\ y [k] & = [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} s_{1} [k] \\ s_{2} [k] \end{matrix}] + [1] x [k] \end{aligned}

$\begin{align} \begin{bmatrix}1&-1\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k+1]\\s_2[k+1]\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}p&0\\0&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k]\\s_2[k]\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}x[k]\\ y[k] &= \begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}s_1[k]\\s_2[k]\end{bmatrix} +[1]x[k] \end{align}$

Ahora aquí es donde creo que es la parte problemática. Este sistema, aunque es LTI, no es regular (las palabras relevantes son sistemas descriptores de índice 1 regulares , libres de impulsos ). En otras palabras, no existe para la que la expresión no sea cero y, por lo tanto, uno de los modos es y, de hecho, es para este ejemplo. Esto significa que nuestro sistema tiene problemas de unicidad de solución, a diferencia del sistema LTI causal, no hay garantía sobre la existencia de una solución única. No hay garantía de una solución admisible para ese asunto (sistemas impulsivos de palabras de moda). Por lo tanto, el razonamiento LTI de las otras respuestas no será suficiente. $\lambda$ $\det(\lambda E-A)$ $\frac{\bullet}{0}$ $\frac{0}{0}$

Y esto, por lo que puedo deducir del argumento de Matt L, es que encontró dos soluciones no trivialmente distintas para el mismo sistema y concluyó que este no puede ser un sistema lineal. Pero esto también supone la unicidad y existencia de una solución y condiciones iniciales.

Solo difiere de los sistemas regulares en la forma en que no se puede asumir la unicidad y las garantías de existencia de los sistemas LTI estándar. Ya no se puede suponer que los modelos tienen trayectorias admisibles para todas las señales posibles.

— percusión
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La respuesta es no. Para etiquetar un sistema de tiempo discreto como LTI, solo buscamos sus propiedades de linealidad e invariancia de tiempo y no necesitamos preocuparnos de si es estable o no. Esa es otra propiedad independiente de un sistema que puede coexistir mutuamente con otras propiedades. Y, de hecho, muchos sistemas LTI son inestables y siguen siendo sistemas LTI. Para la abundancia de ejemplos, consulte el libro de Alan Oppenheim: Signals & Systems, 2ed, capítulo 2. (o cualquier otro libro de texto universitario sobre señales y sistemas, o procesamiento de señales digitales) Considere, por ejemplo, filtros IIR no estables que todavía son lineales y tiempo invariante (de hecho, su ejemplo es uno de esos)

Al llegar a su LCDDE que se supone que define un sistema de tiempo discreto recursivo, como ya sabrá, el LCDDE en sí no es suficiente para especificar una solución de forma exclusiva, ya que también necesita un conjunto de condiciones auxiliares (condiciones iniciales). Sin esas condiciones iniciales establecidas explícitamente, no puede resolver la ecuación ni determinar si el sistema que representa será LTI o causal. Porque para algunas condiciones iniciales, puede ser no causal, no lineal y variable en el tiempo, mientras que para algún otro conjunto (es decir, las condiciones de reposo iniciales) será lineal, invariante en el tiempo y causal. Por lo tanto, para que un solo LCCDE represente de forma exclusiva un sistema LTI, sus condiciones iniciales deben establecerse correctamente en reposo inicial y no arbitrariamente ...

— Grasa32
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La linealidad y la invariancia en el tiempo no dependen del valor de . Los dos posibles sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI) descritos por la ecuación de diferencia $p$

\begin{matrix} (1) & y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n], p \neq 0 \end{matrix}

$y[n]=p\cdot y[n-1]+x[n]\tag{1},\quad p\neq 0$

están dados por la transformación inversa de la función de transferencia formulada en la pregunta: $\mathcal{Z}$

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{z}{z - p} \end{matrix}

$H(z)=\frac{z}{z-p}\tag{2}$

Tenga en cuenta que (2) no define únicamente una respuesta de impulso a menos que se proporcione la región de convergencia (ROC) de . Para la función de transferencia (2), hay dos ROC posibles:y. En el primer caso, la respuesta de impulso correspondiente es del lado derecho y corresponde a un sistema LTI causal: $H(z)$ $|z|>|p|$ $|z|<|p|$

\begin{matrix} (3) & h_{1} [n] = p^{n} u [n] \end{matrix}

$h_1[n]=p^nu[n]\tag{3}$

donde es la función de paso unitario. Si elegimoscomo ROC, obtenemos una respuesta de impulso del lado izquierdo correspondiente a un sistema anticausal: $u[n]$ $|z|<|p|$

\begin{matrix} (4) & h_{2} [n] = - p^{n} u [- n - 1] \end{matrix}

$h_2[n]=-p^nu[-n-1]\tag{4}$

Si entonces el sistema LTI causal caracterizado por es estable, y el sistema LTI anti-causal caracterizado por es inestable, y si cumple lo contrario. $|p|<1$ $h_1[n]$ $h_2[n]$ $|p|\ge 1$

Hasta ahora hemos visto que la ecuación de diferencia (1) define dos sistemas LTI, uno causal y el otro anticausal. Las dos respuestas de impulso correspondientes y son soluciones de la ecuación de diferencia (1) para . Sin embargo, estas no son las únicas soluciones de (1). Es bien sabido por la teoría de ecuaciones de diferencia lineal que la solución general está dada por una solución particular para alguna dada , y por una solución a la ecuación homogénea definida por . Para la ecuación de diferencia dada, la ecuación homogénea correspondiente es $h_1[n]$ $h_2[n]$ $x[n]=\delta[n]$ $x[n]$ $x[n]=0$

\begin{matrix} (5) & y [n] = p \cdot y [n - 1] \end{matrix}

$y[n]=p\cdot y[n-1]\tag{5}$

La solución de (5) es

\begin{matrix} (6) & y_{h} [n] = c \cdot p^{n}, c \in R \end{matrix}

$y_h[n]=c\cdot p^n,\quad c\in \mathbf{R}\tag{6}$

Ahora podemos expresar la solución general de (1) (con ) combinando una solución particular (ya sea o ) con : $x[n]=\delta[n]$ $h_1[n]$ $h_2[n]$ $y_h[n]$

\begin{matrix} (7) & y [n] = h_{1} [n] + y_{h} [n] = h_{1} [n] + c \cdot p^{n} \end{matrix}

$y[n]=h_1[n]+y_h[n]=h_1[n]+c\cdot p^n\tag{7}$

Tenga en cuenta que la solución se puede obtener de (7) eligiendo . También tenga en cuenta que (7) es válido para todos . $h_2[n]$ $c=-1$ $n\in\mathbf{Z}$

Si tuviéramos que escalar la señal de entrada y usar con algún , la salida resultante sería $x_1[n]=a\delta[n]$ $a\in\mathbf{R}$

\begin{matrix} (8) & y_{1} [n] = a \cdot h_{1} [n] + c \cdot p^{n} \end{matrix}

$y_1[n]=a\cdot h_1[n]+c\cdot p^n\tag{8}$

Esta señal de salida generalmente no es igual a (con dada por (7)), a menos que o . En consecuencia, el sistema correspondiente no es lineal. Para la señal de entrada la salida es $a\cdot y[n]$ $y[n]$ $c=0$ $c=-1$ $x_2=\delta[n-n_0]$

\begin{matrix} (9) & y_{2} [n] = h_{1} [n - n_{0}] + c \cdot p^{n} \end{matrix}

$y_2[n]=h_1[n-n_0]+c\cdot p^n\tag{9}$

que generalmente no es igual a (de nuevo, a menos que o ). Entonces el sistema correspondiente tampoco es invariante en el tiempo. $y[n-n_0]$ $c=0$ $c=-1$

En resumen, la ecuación de diferencia (1) describe infinitos sistemas con respuestas a la señal de entrada dada por (7). Solo dos de estos sistemas son LTI, los otros no. Los dos sistemas LTI se describen mediante las respuestas de impulso y proporcionadas por (3) y (4), respectivamente. $x[n]=\delta[n]$ $h_1[n]$ $h_2[n]$

— Matt L.
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así que, en resumen, el sistema descrito por esta ecuación no es LTI. o no necesariamente LTI. ¿Correcto? ahora, para simplificar la discusión, ¿puede aceptar que la razón por la que afirma que no es LTI es porque con una entrada que es idénticamente cero , que el la salida puede ser distinta de cero y ?

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n] \forall n \in Z

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n] \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z}$

$\$

x [n] = 0 \forall n \in Z

$x[n]=0 \ \forall n \in \mathbb{Z}$

y [n] = c \cdot p^{n} \forall n \in Z

$y[n] = c \cdot p^n \ \forall n \in \mathbb{Z}$

c \neq 0

$c \ne 0 \$

— robert bristow-johnson

Además, si , ¿podría ser una excepción a su afirmación inicial de que "la linealidad y la invariancia en el tiempo no dependen del valor de " ?

p = 0

$p=0$ $p$

— Robert Bristow-Johnson

y, por último, ¿estás negando aparentemente que, incluso para una elegida correctamente , que no puede ser una solución general para o sistemas descritos de manera similar?

h [n]

$h[n]$

y [n] = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h [i] x [n - i]

$y[n] = \sum\limits_{i=-\infty}^{+\infty} h[i] x[n-i]$

y [n] = p \cdot y [n - 1] + x [n] \forall n \in Z

$y[n] = p \cdot y[n-1] \ + \ x[n] \quad \quad \forall n \in \mathbb{Z}$

— robert bristow-johnson

MattL, ¿estás interesado en responder alguna de estas preguntas?

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson: Sí, pero parece que haces muchas preguntas al mismo tiempo, y creo que la mayoría de ellas ya han sido respondidas explícitamente por mi respuesta a tu pregunta original. Pero lo intentaré ...

— Matt L.

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Esta discusión me parece intrigante y quería agregar otro punto de vista a la mezcla:

El sistema en consideración ( ) puede considerarse como un mapeo de un espacio vectorial (infinito) a otro. Llamemos a esto este mapeo , y podemos (inicialmente) definirlo como: $y[n]=p⋅y[n−1] + x[n]$ $M$

M : R^{Z} \to R^{Z}

$M : \mathbb{R}^\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}^\mathbb{Z}$

Esta terminología dice que es un mapeo desde (el espacio de todas las funciones con valores reales de una variable entera) a . $M$ $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$

Si el sistema tiene ceros (y el sistema en consideración aquí tiene un cero en ), esto significa que nuestro mapeo no es uno a uno, porque dos señales de entrada diferentes conducirán a la misma señal de salida. Por ejemplo, para cualquier señal de entrada, , podemos decir que para cualquier real . $z=1$ $M$ $x[n]$ $M(x)=M(x+\lambda)$ $\lambda$

El conjunto de funciones que son "ceros" de nuestro sistema se puede definir como:

K_{z e r o s} = {f [n] = λ : \forall λ \in R}

$K_{zeros}=\{f[n]=\lambda:\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$

Del mismo modo, observamos que si nuestro sistema tiene algún polo (y el sistema en consideración aquí tiene un cero en ), esto significa que el mapeo inverso, no es uno a uno. Específicamente, para cualquier real . $z=-1$ $M^{-1}$ $M^{-1}(x)=M^{-1}(x+\lambda(-1)^n)$ $\lambda$

El conjunto de funciones que son "polos" de nuestro sistema se puede definir como:

K_{p o l e s} = {f [n] = λ (- 1)^{n} : \forall λ \in R}

$K_{poles}=\{f[n]=\lambda(-1)^n:\forall \lambda \in \mathbb{R}\}$

Ahora, es un espacio vectorial, es un espacio vectorial y es un espacio vectorial. $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ $K_{zeros}$ $K_{poles}$

Ahora podemos definir dos espacios de cociente (ver Wikipedia para más información sobre espacios de cociente):

Q_{i n p u t} = R^{Z} / K_{z e r o s}

$Q_{input} = \mathbb{R}^\mathbb{Z} / K_{zeros}$

Q_{o u t p u t} = R^{Z} / K_{p o l e s}

$Q_{output} = \mathbb{R}^\mathbb{Z} / K_{poles}$

Puede pensar en como el subconjunto de que no contiene ningún componente de señal de la forma , o, alternativamente, puede pensar en es idéntico a con clases de equivalencia que nos dicen "para nuestra aplicación actual, consideraremos que cualquier función es equivalente a para cualquier real " $Q_{output}$ $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ $\lambda(-1)^n$ $Q_{output}$ $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$ $y[n]$ $y[n]+\lambda(-1)^n$ $\lambda$

Al hacer esto, ahora podemos redefinir una nueva asignación como una asignación de a . Este nuevo mapeo es realmente el mismo que nuestro mapeo anterior, , excepto que hemos reducido los espacios vectoriales en los que opera. Además, este nuevo mapeo ahora es una biyección (es "uno a uno" y "sobre"), por lo que también se garantiza que sea invertible. $M'$ $Q_{input}$ $Q_{output}$ $M$

Finalmente, este mapeo, es lineal . $M'$

Entonces, el punto de esta explicación completa es que, al definir las clases de equivalencia apropiadas (o alternativamente, al restringir nuestro espacio de funciones permitidas a un subespacio de ), podemos Mantener la propiedad de que nuestro mapeo debe ser lineal (e invariante en el tiempo). $\mathbb{R}^\mathbb{Z}$

Por ejemplo, las reglas de linealidad nos dicen que, si es una señal de entrada y es cualquier escalar real, entonces . Por lo tanto, esto implica que, al establecer , deberíamos esperar que (es decir, si ingresamos la señal cero a nuestro filtro, la salida debería ser ). $x[n]$ $\alpha$ $M(\alpha x) = \alpha M(x)$ $\alpha=0$ $M(0\times x)=y[n]=0$ $y[n]=0$

Sin embargo, sabemos que es posible tener una situación en la que la entrada al filtro es cero, pero la salida tiene la forma , por lo que podríamos sentir la tentación de decir "eso demuestra nuestro sistema no es lineal, porque no es cero ". Sin embargo, recordará que la clase de equivalencia que aplicamos en el espacio vectorial de salida dice que "para nuestra aplicación actual, consideraremos que cualquier función es equivalente a para cualquier real ", lo que significa que es equivalente a cero! $y'[n]=(-1)^n$ $y'[n]$ $y[n]$ $y[n]+\lambda(-1)^n$ $\lambda$ $y'[n]=(-1)^n$

— dave_mc
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