¿Por qué el DFT supone que la señal transformada es periódica?

En muchos libros de procesamiento de señales, se afirma que el DFT supone que la señal transformada es periódica (y que esta es la razón por la cual puede ocurrir una fuga espectral, por ejemplo).

Ahora, si nos fijamos en la definición de DFT, simplemente no hay ese tipo de suposición. Sin embargo, en el artículo de Wikipedia sobre la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), se afirma que

Cuando la secuencia de datos de entrada $x[n]$ es periódica, la ecuación 2 puede reducirse computacionalmente a una transformada de Fourier discreta (DFT)$N$

• Entonces, ¿esta suposición se deriva de la DTFT?
• En realidad, al calcular el DFT, ¿estoy calculando el DTFT con el supuesto de que la señal es periódica?

Ya hay algunas buenas respuestas, pero todavía tengo ganas de agregar otra explicación, porque considero que este tema es extremadamente importante para comprender muchos aspectos del procesamiento de señales digitales.

En primer lugar, es importante comprender que el DFT no "asume" la periodicidad de la señal a transformar. El DFT se aplica simplemente a una señal finita de longitud $N$ y los coeficientes DFT correspondientes se definen por

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi nk/N},\quad k=0,1,\ldots,N-1\tag{1}$$

A partir de (1) es obvio que solo se consideran muestras de $x[n]$ en el intervalo $[0,N-1]$ , por lo que no se supone periodicidad. Por otro lado, los coeficientes $X[k]$ pueden interpretarse como coeficientes de Fourier de la continuación periódica de la señal $x[n]$ . Esto se puede ver desde la transformación inversa

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi nk/N}\tag{2}$$

que calcula correctamente en el intervalo [ 0 , N - 1 ] , pero también calcula su continuación periódica fuera de este intervalo debido a que el lado derecho de (2) es periódica con periodo N . Esta propiedad es inherente a la definición del DFT, pero no tiene por qué molestarnos porque normalmente solo nos interesa el intervalo [ 0 , N - 1 ] .$x[n]$$[0,N-1]$$N$$[0,N-1]$

Considerando la DTFT de $x[n]$

$$X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-jn\omega}\tag{3}$$

podemos ver al comparar (3) con (1), que si es una secuencia finita en el intervalo [ 0 , N - 1 ] , los coeficientes DFT X [ k ] son muestras de DTFT X ( ω ) :$x[n]$$[0,N-1]$$X[k]$$X(\omega)$

$$X[k]=X(2\pi k/N)\tag{4}$$

Entonces, un uso del DFT (pero ciertamente no el único) es calcular muestras del DTFT. Pero esto solo funciona si la señal a analizar es de longitud finita . Por lo general, esta señal de longitud finita se construye mediante una ventana más larga. Y es esta ventana la que causa la fuga espectral.

Como último comentario, tenga en cuenta que la DTFT de la continuación periódica de la secuencia finita x [ n ] puede expresarse en términos de los coeficientes DFT de x [ n ] :$\tilde{x}[n]$$x[n]$$x[n]$

˜ X (ω)=2

$$\tilde{x}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[n-kN]\tag{5}$$ $$\tilde{X}(\omega)=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X[k]\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{6}$$

EDITAR: El hecho de que y ˜ X ( ω ) dados anteriormente son un par de transformada DTFT se puede mostrar de la siguiente manera. Primera nota que el DTFT de un peine de impulso de tiempo discreto es un peine de Dirac:$\tilde{x}[n]$$\tilde{X}(\omega)$

$$\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\Longleftrightarrow\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\tag{7}$$

La secuencia se puede escribir como la convolución de x [ n ] con un peine de impulsos:$\tilde{x}[n]$$x[n]$

$$\tilde{x}[n]=x[n]\star \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-kN]\tag{8}$$

Como la convolución corresponde a la multiplicación en el dominio DTFT, la DTFT de ˜ x [ n ] viene dada por la multiplicación de X ( ω ) con un peine Dirac:$\tilde{X}(\omega)$$\tilde{x}[n]$$X(\omega)$

$$\begin{align}\tilde{X}(\omega)&=X(\omega)\cdot\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k/N)\\&=\frac{2\pi}{N}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(2\pi k/N)\delta(\omega-2\pi k/N)\end{align}\tag{9}$$

La combinación de con ( 4 ) establece el resultado ( 6 ) .$(9)$$(4)$$(6)$

Proviene de la definición de la señal del dominio del tiempo:

$$x \left[ n \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X \left[ k \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

Puede ver por definición que $x \left[ n \right] = x \left[ n + N \right]$ .
Por otro lado, el DFT reconstruye perfectamente las N muestras de la señal.
Por lo tanto, puede concluir que supone una continuación periódica de la misma.

Otro punto de vista sería mirar el DFT como una serie de Fourier discreta finita (en realidad es, eche un vistazo a la serie de Fourier discreta - DFS ), que por supuesto señala que la señal es periódica (la suma finita de señales con período $T$ es una señal que tiene un período $T$ ).

Es una suposición innecesaria (y a menudo falsa). El DFT es solo una transformación base de un vector finito.

Los vectores básicos de la DFT son fragmentos de funciones periódicas infinitamente extensibles. Pero no hay nada intrínsecamente periódico sobre la entrada o resultados DFT a menos que extienda los vectores base fuera de la apertura DFT. Muchas formas de análisis de señal no requieren ninguna extensión o suposición fuera de la ventana muestreada o del vector de datos finitos.

También se puede suponer que cualquier artefacto de "fuga" proviene de una convolución de la ventana rectangular predeterminada con una señal que no es periódica o es de periodicidad o estacionariedad desconocida. Esto tiene mucho más sentido al analizar ventanas FFT superpuestas, donde cualquier supuesto de periodicidad fuera de cualquier ventana DFT o FFT puede ser inconsistente con los datos en otras ventanas.

La periodicidad puede hacer que las matemáticas que relacionan el DFT con el DTFT sean más manejables. Pero cualquier relación con la DTFT puede o no ser necesaria cuando realmente se utiliza una FFT para el procesamiento de la señal (dependiendo exactamente de qué propiedades de transformación de Fourier se necesitan para un análisis posterior del método de procesamiento).

Ok, mi respuesta será algo diferente a las otras respuestas. mi respuesta acepta la premisa de la pregunta en lugar de negar la premisa de la pregunta.

La razón por la que el DFT "asume" la señal de entrada (la señal a transformar, lo que supongo que OP significa "señal transformada") es periódica es porque el DFT ajusta una colección de funciones básicas a esa señal de entrada, todo lo cual son periódicos

considere un conjunto diferente de funciones básicas:

$$g_k(u) \triangleq u^k \quad \quad 0 \le k < N$$

$N$

$$x[n] \quad \quad 0 \le n < N$$

$g_k(n)$

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] n^k \\ \end{align}$$

with judicious selection of the coefficients $X[k]$. calculating all $X[k]$ requires solving $N$ linear equations with $N$ unknowns. you can use Gaussian elimination to do it.

with the $N$ correct values for $X[k]$ for $0 \le k \le N-1$, we can make sure that the sum of these power functions (which is an $(N-1)$th-order polynomial) will evaluate exactly to $x[n]$ for each $n$ such that $0 \le n \le N-1$.

now what if you use that summation to go beyond the interval of $0 \le n \le N-1$? you can evaluate it for any $n$. you will notice that the behavior of that function will be that of an $(N-1)$th-order polynomial because that is what it is. for $n$ large enough, only the highest power with a non-zero coefficient will set the trend for the extrapolated $x[n]$.

so now, with the DFT we are fitting a different set of basis functions to our input sequence:

$$g_k(u) \triangleq \frac{1}{N} e^{+j 2 \pi k u/N} \quad \quad 0 \le k < N$$

$$\begin{align} x[n] & = \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] g_k(n) \\ & = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{+j2\pi n k/N} \\ \end{align}$$

and the coefficients, $X[k]$, can be solved for and are:

$$X[k] = \sum\limits^{N-1}_{n=0} x[n] \ e^{-j2\pi n k/N}$$

the placement of that $\frac{1}{N}$ is a matter of convention. i am putting it where most of the literature puts the $\frac{1}{N}$ factor. it could be removed from the $x[n]$ equation and put in the $X[k]$ equation, instead. or "half" of it ($\sqrt{\frac{1}{N}}$) could be placed with both equations. it's just a matter of convention.

but here we are fitting a set of basis functions that are all periodic with period $N$ to the original $x[n]$. so even if $x[n]$ came from a longer sequence was not periodic, the DFT is considering that $x[n]$ is the sum of a bunch of basis functions each that are periodic with period $N$. if you add up a bunch of periodic functions, all with the same period, the sum must also be periodic with the same period.

DFT is discrete. DTFT is continuous. We can get DFT from DTFT by sampling it with the pulse train of the right period, which is actually equal to multiplying it with the pulse train. Multiplication in the transform domain is equal to convolution in discrete-time domain, this implies periodicity of signal.

Solo DFT es práctico en el mundo digital discreto debido a suposiciones periódicas en ambos dominios. (Si lo llama así.) Debido a que la señal no periódica en un dominio causa una señal continua en el otro y solo puede almacenar una señal discreta en la memoria digital. Por lo tanto, debe asumir que las señales son periódicas en ambos dominios para que sea discreto en ambos dominios.

Cuando calcula DTFT, obtiene una señal continua en el dominio de frecuencia como salida.
No creo que utilice el mismo procedimiento cuando calcule DFT en la práctica. Cuando realmente calculó DTFT y DFT, comprenderá que ambos cálculos de transformación son historias diferentes.

Since the signal is periodic, the time shifted signal doesn't change the absolute magnitude of the frequency domain.

$$X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}$$

$${e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}X \left[ k \right] = \sum_{k = 0}^{N - 1} x \left[ n - D \right] {e}^{\frac{2 \pi i n k}{N}}{e}^{\frac{-2 \pi i D k}{N}}$$

By the way, there is nothing stopping you from taking the FFT of a non-periodic signal, but there it little practical use if none of the transformations work.