Contestaré la pregunta 2 primero, y espero que eso ayude a explicar lo que está sucediendo con la pregunta 1.
Cuando muestrea una señal de banda base, hay alias implícitos de la señal de banda base en todos los múltiplos enteros de la frecuencia de muestreo, como se muestra en la imagen a continuación.
La imagen sólida es la señal de banda base original, y los alias están representados por las imágenes discontinuas. Elegí una señal asimétrica (es decir, compleja) para ayudar a demostrar la inversión que ocurre en múltiplos impares de la frecuencia de muestreo.
Usted podría preguntar: "¿Existen realmente los alias?" Es un poco una pregunta filosófica. Sí, en un sentido matemático existen, porque todos los alias (incluida la señal de banda base) son indistinguibles entre sí.
Cuando sube la muestra insertando ceros entre las muestras originales, está aumentando efectivamente la frecuencia de muestreo por la frecuencia de muestreo. Entonces, si aumenta la muestra en un factor de dos (poniendo un cero entre cada muestra), aumentará su frecuencia de muestreo y la tasa de Nyquist en un factor de 2, lo que da como resultado la imagen a continuación.
Como puede ver, uno de los alias implícitos en la imagen anterior ahora se ha vuelto explícito. Si FFT las muestras se mostrará. A continuación se muestra una prueba no rigurosa de que la transformación DFT no cambia fundamentalmente.
Ahora que tiene los dos alias explícitos, si solo desea el alias de banda base, entonces tiene que usar un filtro de paso bajo para deshacerse del otro alias. A veces, sin embargo, las personas usan los otros alias para hacer su modulación por ellos. En ese caso, utilizarías un filtro de paso alto para deshacerte de la señal de banda base. Espero que eso responda la pregunta 2.
La pregunta 1 es básicamente la inversa de la pregunta 2. Suponga que ya se encuentra en la situación que se muestra en la segunda imagen. Hay dos formas de obtener la señal de banda base que desea. La primera forma es usar un filtro de paso bajo (eliminando así el alias superior) y luego diezmar por un factor de dos. Eso te lleva a la foto n. ° 1.
La segunda forma es usar un filtro de paso alto (deshacerse del alias de la banda base) y luego diezmar por un factor de dos. La razón por la que esto funciona es que alias intencionalmente la señal en la banda base, por lo tanto, una vez más, te lleva a la imagen # 1.
¿Por qué querrías hacerlo de esa manera? Debido a que en la mayoría de las situaciones, las señales no serán las mismas, por lo que puede elegir qué señal desea o hacer ambas por separado.
Si está estudiando el procesamiento de múltiples velocidades, le recomiendo obtener Frederic Harris "Procesamiento de señal multirrata para sistemas de comunicación". Realiza un muy buen trabajo explicando la teoría sin descuidar las matemáticas y dando muchos consejos prácticos también.
EDITAR: el muestreo intencional de una señal a una velocidad inferior a la de Nyquist se denomina submuestreo . El siguiente es mi intento de explicar matemáticamente por qué la FFT no cambia cuando se sube la muestra. "x [n]" es el conjunto original de muestras, "u" es el factor de muestreo superior y "x '[n]" es el conjunto de muestras muestreadas.
X[ k ]X′[ k ]==X===∑n = 0norte- 1x [ n ] e- i 2 πk n / N∑n = 0u N- 1X′[ n ] e- i 2 πk n / u N, {′[ n ] = x [ n / u ] , n = m u∑n = 0norte- 1X′[ u n ] e- i 2 πk u n / u N∑n = 0norte- 1x [ n ] e- i 2 πk n / NX[ k ]X′[ n ] = 0 , n ≠ m u , m ∈ ( 0 .. N- 1 )
Disculpas por el formato feo. Soy un novato de LaTex.
EDIT 2: debería haber señalado que los DFT de x [n] y x '[n] no son realmente idénticos. La frecuencia de muestreo es más alta, lo que, como expliqué en la parte anterior de la respuesta, hace que los alias estén "expuestos". Estaba tratando de señalar en mi forma no matemática que los DFT son, aparte de la frecuencia de muestreo, los mismos.
