Encontrar la transformada z de

Así que estoy tratando de decidir si la parte del coseno está destinada a conectarse para $z$ o si es estrictamente parte de $h[n]$ . (el número a se encuentra en el disco de la unidad abierta)

Quiero decir que estaba bastante seguro de que todo era parte de $h[n]$ pero luego, al realizar la transformación z, obtengo esta función racional

\frac{1 - a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1}}{1 - 2 a \cos (2 π \frac{f_{0}}{F_{s}}) z^{- 1} + a^{2} z^{- 2}}

$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$

La cuestión es que se supone que debo evaluar los polos y ceros y si simplemente ignoras las partes del coseno, obtienes esta expresión racional realmente agradable que factoriza y simplifica a $\displaystyle\frac{z}{z-a}$ .

Entonces eso me ha hecho pensar que tal vez no estoy entendiendo las cosas correctamente y se supone que la parte del coseno está conectada para $z$ o algo así. ¿Alguien puede aclarar esto para mí?

z-transform

— Zaubertrank
fuente

Sugerencia: Use la identidad de Euler para expresar

como la suma de dos funciones exponenciales complejas y luego sume la serie geométrica resultante. Leer mi respuesta a su otra pregunta podría ayudar a descubrir qué se entiende por serie geométrica.

\cos (2 π n / F_{0} f_{0})

$\cos(2\pi n/F_0 f_0)$

— Dilip Sarwate

Hice todo eso, así es como obtuve la expresión racional anterior. Desde que publiqué esto, pude factorizarlo y obtener los polos y ceros, sin embargo, gracias por su ayuda. En realidad, ¿podría hacerme un sólido y decirme el código matlab requerido para trazar la respuesta de frecuencia de este sistema con a = 0.8, F_s = 128 y f_0 = 32? Gracias.

— Zaubertrank

¿Obtuviste dos polos complejos conjugados en ubicaciones en el círculo de radio

? En lo que respecta a MATLAB, lamento no poder ayudarlo, ya que no estoy familiarizado con la sintaxis de MATLAB. Solo espera un momento y estoy seguro de que alguien más te ayudará.

| a |

$|a|$

— Dilip Sarwate

Sí, ahí es donde los conseguí.

— Zaubertrank

@Zaubertrank "freqz" funciona muy bien para el análisis del rendimiento del filtro en Matlab.

— Jim Clay

Respuestas:

La señal del dominio del tiempo (o respuesta de impulso)

h (n) = a^{n} \cos n θ_{0}, θ_{0} = 2 π \frac{f_{0}}{f_{s}}, n \geq 0

$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$

es muy común: es una función sinusoidal amortiguada (suponiendo $|a|<1$ ) que ocurre con frecuencia, porque es una respuesta posible de un sistema lineal invariante en el tiempo de segundo orden. Entonces, con respecto a su duda, la parte del coseno definitivamente debe ser parte de la señal del dominio del tiempo. Los polos y ceros se pueden encontrar reescribiendo $H(z)$ :

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} H (z) & = \frac{1 - a z^{- 1} \cos θ_{0}}{1 - 2 a z^{- 1} \cos θ_{0} + a^{2} z^{- 2}} \\ = \frac{z (z - a \cos θ_{0})}{z^{2} - 2 a z \cos θ_{0} + a^{2}} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$

A partir de (1) es fácil determinar los ceros de $H(z)$ :

z_{0, 0} = 0 z_{0, 1} = a \cos θ_{0}

$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$

Para determinar los polos, escribimos $H(z)$ como una fracción de expansión parcial:

\begin{matrix} (2) & H (z) = \frac{1}{2} [\frac{1}{1 - a e^{j θ_{0}} z^{- 1}} + \frac{1}{1 - a e^{- j θ_{0}} z^{- 1}}] \end{matrix}

$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$

De (2) vemos que los polos están dados por

z_{\infty, 0} = a e^{j θ_{0}} z_{\infty, 1} = a e^{- j θ_{0}}

$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$

h (n)

$h(n)$

h (n)

$h(n)$

| a | < 1

$|a|<1$

— Matt L.
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$x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$ ingrese la descripción de la imagen aquí

— RAM
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¿Te importaría ponerlo en TeX, en lugar de imagen?

— jojek