¿Qué es la transformación de Walsh-Hadamard y para qué sirve?

Estoy tratando de enseñarme sobre el WHT, pero no parece que haya muchas buenas explicaciones en línea en ningún lugar. Creo que he descubierto cómo calcular el WHT, pero realmente estoy tratando de entender por qué se considera útil dentro del dominio de reconocimiento de imágenes.

¿Qué tiene de especial y qué propiedades aporta en una señal que no se mostraría en las transformadas clásicas de Fourier u otras transformaciones wavelet? ¿Por qué es útil para el reconocimiento de objetos como se señala aquí ?

La NASA solía usar la transformación Hadamard como base para comprimir fotografías de sondas interplanetarias durante la década de 1960 y principios de los 70. Hadamard es un sustituto computacionalmente más simple para la transformada de Fourier, ya que no requiere operaciones de multiplicación o división (todos los factores son más o menos uno). Las operaciones de multiplicar y dividir fueron extremadamente intensivas en tiempo en las pequeñas computadoras utilizadas a bordo de esas naves espaciales, por lo que evitarlas fue beneficioso tanto en términos de tiempo de cómputo como de consumo de energía. Pero desde el desarrollo de computadoras más rápidas que incorporan multiplicadores de ciclo único y la perfección de algoritmos más nuevos como la Transformada rápida de Fourier, así como el desarrollo de JPEG, MPEG y otras compresiones de imágenes, creo que Hadamard ha dejado de usarse. Sin embargo, Entiendo que puede estar organizando un regreso para su uso en la computación cuántica. (El uso de la NASA es de un artículo antiguo en NASA Tech Briefs; la atribución exacta no está disponible).

Los coeficientes de la transformación de Hadamard son todos +1 o -1. La Transformación rápida de Hadamard puede por lo tanto reducirse a operaciones de suma y resta (sin división o multiplicación). Esto permite el uso de hardware más simple para calcular la transformación.

Por lo tanto, el costo o la velocidad del hardware pueden ser el aspecto deseable de la transformación de Hadamard.

Eche un vistazo a este documento si tiene acceso. He pegado el resumen aquí Pratt, WK; Kane, J .; Andrews, HC; , "Hadamard transforma la codificación de imágenes", Actas del IEEE, vol.57, no.1, pp. 58-68, enero de 1969 doi: 10.1109 / PROC.1969.6869 URL: http://ieeexplore.ieee.org/stamp /stamp.jsp?tp=&arnumber=1448799&isnumber=31116

Resumen La introducción del algoritmo de transformación rápida de Fourier ha llevado al desarrollo de la técnica de codificación de imagen de transformación de Fourier por la cual la transformación de Fourier bidimensional de una imagen se transmite a través de un canal en lugar de la imagen misma. Este desarrollo ha llevado a una técnica de codificación de imagen relacionada en la que una imagen es transformada por un operador de matriz Hadamard. La matriz de Hadamard es una matriz cuadrada de más y menos cuyas filas y columnas son ortogonales entre sí. Se ha desarrollado un algoritmo computacional de alta velocidad, similar al algoritmo de transformación rápida de Fourier, que realiza la transformación de Hadamard. Como solo se requieren sumas y restas de números reales con la transformación de Hadamard, es posible obtener una ventaja de velocidad de orden de magnitud en comparación con la transformación de Fourier de números complejos.

Me gustaría agregar que cualquier transformación m (matriz de Toeplitz generada por una secuencia m) puede descomponerse en

P1 * WHT * P2

donde WHT es la transformación de Walsh Hadamard, P1 y P2 son permutaciones (ref: http://dl.acm.org/citation.cfm?id=114749 ).

m-transform se usa para varias cosas: (1) identificación del sistema cuando el sistema está plagado de ruido y (2) por virtual de (1) identifica el retraso de fase en un sistema que está plagado de ruido

para (1), la transformación m recupera los núcleos del sistema cuando el estímulo es una secuencia m, lo cual es útil en neurofisiología (por ejemplo, http://jn.physiology.org/content/99/1/367. completo y otros) porque es de alta potencia para una señal de banda ancha.

Para (2), el código Gold se construye a partir de secuencias m (http://en.wikipedia.org/wiki/Gold_code).

Estoy muy contento de presenciar un renacimiento en torno a las transformaciones de Walsh-Paley-Hadamard (o a veces llamado Waleymard), vea ¿Cómo podemos usar la transformación de Hadamard en la extracción de características de una imagen?

$\pm 1$

$2^n$ también se puede interpretar como instancias de un paquete wavelet de Haar.

Como tal, se pueden usar en cualquier aplicación donde se usen bases coseno / seno o wavelet, con una implementación muy barata. En los datos enteros, pueden permanecer enteros y permitir transformaciones y compresión verdaderamente sin pérdidas (de manera similar a DCT o wavelets o binlet binarios enteros). Entonces uno puede usarlos en códigos binarios.

Su rendimiento a menudo se considera más pobre que otras transformaciones armónicas en señales e imágenes naturales, debido a su naturaleza en bloque. Sin embargo, algunas variantes todavía están en uso, como las transformaciones de color reversibles (RCT) o las transformaciones de codificación de video de baja complejidad (Transformación de baja complejidad y cuantificación en H.264 / AVC ).

Alguna literatura:

• Agaian, SS, Matrices Hadamard y sus aplicaciones, 1985
• Beauchamp, KG, funciones de Walsh y sus aplicaciones, 1975
• Harmut, HF, Transmisión de información por funciones ortogonales, 1970
• Algoritmo de compresión de video en tiempo real para el procesamiento de transformación Hadamard (NASA, 196)
• Un compresor de video de transformación adaptativo Hadamard en tiempo real (NASA, 196)

Algunos enlaces: página web

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