Representación de la serie de Fourier

Conceptualmente, cuando queremos representar una serie peroídica, por ejemplo, un tren de pulsos, encontramos los coeficientes de Fourier y obtenemos una representación en el dominio del tiempo.

Sin embargo, ¿qué tiene de malo conceptualmente usar, digamos, una suma infinita de funciones rect desplazadas en el tiempo para representarlo?

Lo siento, tuve un problema de formato, así que lo estoy poniendo en la publicación inferior ...

Mi método es como tal:

Suponiendo que tenemos un pulso periódico tal que para y para ; así tiene un período de . $x(t)$ $x(t) = 1$ $0 < t< T$ $0$ $T < t < T_p$ $x(t)$ $T_p$

Encontrar los coeficientes de Fourier Ck a través de:

C k = \frac{1}{T_{pags}} \int_{- \infty}^{\infty} X (t) * {mi}^{\frac{- j 2 π k t}{T_{pags}}}

$Ck = \frac{1}{T_p} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) * e^\tfrac{-j2\pi kt}{T_p}$

durante 1 período, y así podemos representar x (t) como:

X (t) = \sum_{k} C_{k} {mi}^{\frac{j 2 π k t}{T_{pags}}}

$x(t) = \sum_k C_k e^\tfrac{j2\pi kt}{T_p}$

y haciendo la transformada de Fourier obtendremos este formulario:

X (F) = \sum_{k} C_{k} δ (F - k F_{pags})

$X(f) = \sum_k C_k \delta(f-kf_p)$

que es discreto

Sin embargo, si consideramos que es de esta forma: $x(t)$

X (t) = \sum_{norte} rect (\frac{t - norte T_{pags}}{T})

$x(t) = \sum_n \text{rect} \left(\frac{t-nT_p}{T} \right)$

Aplicando la transformada de Fourier de para obtener (en la forma): $x(t)$

X (F) = \sum sinc * {mi}^{- j * W}

$X(f) = \sum \text{sinc} * e^{-j*W}$ - (2)

donde sinc () se debe al FT de rect y e ^ (- j * W) sale debido a la propiedad de cambio de tiempo de FT.

Al comparar X (f) en (1) y (2), vemos que 1 es discreto y el otro continuo.

Sin embargo, provienen de la misma x (t), entonces, ¿no es esto una contradicción?

Perdón por la larga publicación.

homework

— John tan
fuente

No hay nada de malo en usar funciones rect desplazadas en el tiempo, y estas funciones son de hecho ortogonales. De hecho, el procesamiento de señal de tiempo discreto en efecto reemplaza una señal de paso bajo con una secuencia de números que son las amplitudes de estas funciones rect con desplazamiento de tiempo, y más aún si piensa en circuitos de muestreo y retención que reemplazan efectivamente una forma de onda de tiempo continuo con una serie de rectificaciones desplazadas en el tiempo con diferentes amplitudes, y son una forma simple (pero imperfecta) de conversión D / A en el otro extremo.

— Dilip Sarwate

@Johntan La transformación Z es esencialmente solo eso: sumas de tiempo cambiaron las funciones rect.

— Jim Clay

Puede producir una onda cuadrada sumando un número infinito de ondas sinusoidales, y puede producir una onda sinusoidal sumando un número infinito de ondas cuadradas.

— Endolito

Relacionado: math.stackexchange.com/q/58391

— endolith

Puede usar la transformada wavelet ortogonal de Haar para descomponer una señal en ondas cuadradas a diferentes escalas.

— Spacey

Respuestas:

Sin embargo, ¿qué tiene de malo conceptualmente usar, digamos, una suma infinita de funciones rect desplazadas en el tiempo para representarlo?

No hay nada conceptualmente malo en ello. Las transformadas de Fourier descomponen una señal en una suma de sinusoides complejos, pero también puede descomponer una señal en muchas otras cosas, que pueden ser más útiles en ciertas aplicaciones. La transformada wavelet de Haar, por ejemplo, rompe una señal en una suma de pulsos rectangulares:

ingrese la descripción de la imagen aquí fuente

Utilizamos sinusoides en muchas aplicaciones porque tiene más sentido en esas aplicaciones. Por ejemplo, ¿por qué casi siempre descomponemos las señales de audio en sinusoides? Porque nuestras cócleas hacen lo mismo:

ingrese la descripción de la imagen aquí

— endolito
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Muy bonito diagrama del oído interno, sobre esas imágenes de la derecha, ¿muestran dónde resuenan ciertas longitudes de onda?

— Spacey

@Mohammad: No estoy seguro de lo que se supone que muestra el lado derecho. ¿Solo que las células ciliadas detectan bajas frecuencias dentro de la cóclea?

— endolito el

La razón principal de esto es que las series de cosenos y senos forman una base ortogonal. Luego, puede usarlo para representarlo en otro "espacio" (frecuencia "espacio", por ejemplo).

Otras cosas, solo para entender otras cosas relacionadas con la serie de Fourier y Tranform:

Un seno o coseno son solo 2 funciones delta en representación de frecuencia (Transformada de Fourier). Una función rect, tiene una representación de función de sincronización (que llena estrictamente todos los espectros).

Luego, utilizando la representación de Fourier en frecuencia, puede interpretar fácilmente cuáles son los componentes de frecuencia de su señal y filtrarla en consecuencia.

Otra cosa para comprender mejor el uso de los coeficientes de Fourier es comprender la relación entre la transformada de Fourier y esos coeficientes ( Explicación1 , Explicación2 ).

Utilizamos series de Fourier para funciones periódicas y Transformada de Fourier para todo.

— Luis Andrés García
fuente

Gracias por su explicación. Además, si consideramos el espectro de frecuencia utilizando las 2 representaciones similares, terminaríamos con un espectro de frecuencia discreto (si consideramos las funciones delta) y, por otro lado, un espectro continuo (si consideramos la función sinc). ¿No es contradictorio?

— John tan

Hasta que entienda bastante bien los coeficientes de Fourier, etc., no mezclaría continuo (Fourier Trans.) Y discreto (DFT). ¿Podrías escribir los pasos que estás haciendo?

— Luis Andrés García

Podemos usar la serie de Fourier para aproximar localmente las funciones aperiódicas creando una extensión periódica.

— Emre

Lo siento, tuve un problema de formato, así que lo estoy poniendo en la publicación inferior.

Mi método es como tal:

Asumiendo que tenemos un pulso periódico $x(t)$ tal que $x(t) = 1$ para $0 < t< T$ y $0$ para $T < t < Tp$ ; así $x(t)$ tiene un periodo de $Tp$ .

Encontrar los coeficientes de Fourier $Ck$ vía:

C k = 1 / / T pags \int^{T} (X (t) * {mi}^{(- j * 2 * pags yo * k * t / / T pags)})

$Ck = 1/Tp \int^T ( x(t) * e^{(-j*2*pi*k*t/Tp)})$

y así podemos representar $x(t)$ como:

X (t) = \sum (C k * {mi}^{(j * 2 * pags yo * k * t / / T pags)})

$x(t) = \sum (Ck * e^{(j*2*pi*k*t/Tp)})$ sobre todo int k

y haciendo la transformada de Fourier obtendremos este formulario:

X (F) = \sum (C k * δ (F - k F pags))

$X(f) = \sum (Ck * \delta(f-kfp))$ sobre todo int k - (1)

que es discreto

Sin embargo, si consideramos que x (t) es de esta forma:

X (t) = \sum (r mi C t [(t - norte T pags) / / T])

$x(t) = \sum(rect[(t-nTp)/T])$

Aplicando la transformada de Fourier de x (t) para obtener (en la forma):

X (F) = \sum [s yo norte C * {mi}^{(} - j * W)]

$X(f) = \sum[ sinc * e^(-j*W) ]$ - (2)

donde sinc () se debe al FT de rect y el $e^{(-j*W)}$ sale debido a la propiedad de cambio de tiempo de FT.

Comparando $X(f)$ en (1) y (2), vemos que 1 es discreto y el otro continuo.

Sin embargo, provienen de lo mismo $x(t)$ Entonces, ¿no es esto una contradicción?

Perdón por la larga publicación.

— John Tan
fuente

X (f)

$X(f)$ Está Mal; te faltan factores de

T_{p}

$T_p$ en el argumento de los exponenciales, así como en lo que escribes simplemente como

sinc

$\text{sinc}$ . Si lo haces bien, obtendrás una suma infinita de funciones exponenciales que te darán impulsos de diferentes magnitudes. No hay transformada de Fourier de funciones periódicas a menos que admitas funciones o distribuciones generalizadas como las llaman los matemáticos, o impulsos o "funciones delta" como a los ingenieros les gusta decir. Tu usas

F (sum) = sum F

$\mathcal F(\text{sum}) = \text{sum}\ \mathcal F$ que necesita justificación si la suma es infinita.

— Dilip Sarwate