¿El CTFT inverso existe para un delta de dirac?

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¿Existe la transformación inversa de Fourier de tiempo continuo para un delta de Dirac (un único pico causal / no causal)?

continuous-signals

— Mikhail
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Consulte las respuestas a una pregunta reciente relacionada sobre matemáticas. SE, que también le dirá cómo usar tablas de pares de transformadas de Fourier comunes con respecto a la variable de frecuencia en radianes radianes / segundo para obtener pares de transformadas de Fourier con respecto a la variable de frecuencia en Hertz Para el caso particular de los impulsos en el tiempo o la frecuencia, la clave es la propiedad de filtrado :

ω

$\omega$

f

$f$

\int_{- \infty}^{\infty} X (y) δ (y - una) re y = X (una) Si X (y) es continuo en una .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate

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Sí, este es un exponencial complejo , a una frecuencia determinada por la "posición" delta (su entrada es ). Escriba la integral para la transformada inversa de Fourier, use la definición de y verá que "selecciona" en esta frecuencia particular el exponencial complejo que se está integrando. $e^{2 \pi i f_0 t}$ $f_0$ $\delta(f - f_0)$ $\delta$

— pichenettes
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Esta es una transformación muy importante que a menudo se encuentra en una tabla de transformaciones de Fourier comunes como esta .

— Jason R

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Como nota al margen: la Transformada de Fourier inversa e inversa son principalmente la misma cosa. Por ejemplo, un rectángulo en un dominio corresponde a un sin (x) / x en el otro dominio (independientemente de si comienza en el tiempo o la frecuencia). Lo mismo ocurre con un delta: el impulso en un dominio corresponde a un exponencial complejo en el otro.

Puede implementar una FFT inversa (basada en una FFT directa) de la siguiente manera:

toma el conjugado
reenviar FFT
toma el conjugado de nuevo
dividir por longitud de la secuencia

En Matlab eso se vería así

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— Hilmar
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N

$N$

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Es verdad. La escala de Matlab es probablemente la más común (y se ve en la mayoría de los libros de texto). 1 / sqrt (N) tanto para adelante como para inverso sería mejor si garantiza la versión más limpia del teorema de Parseval, es decir, la energía en el dominio del tiempo es igual a la energía en el dominio de la frecuencia.

— Hilmar