Transformada de Fourier discreta real

Estoy tratando de entender el DFT real y el DFT y por qué existe la distinción.

Por lo que sé hasta ahora, el DFT usa para vectores base y da la representación La suma se escribe de a por razones históricas, creo que en lugar de escribirla de forma análoga a la serie de Fourier con la suma de a : Esto se basa en una peculiar anomalía de DFT donde las frecuencias altas son las mismas que las frecuencias negativas: . $e^{i2\pi kn/N}$

x [n] = \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

k = 0

$k=0$

N - 1

$N-1$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

x [n] = \sum_{k = - N / 2}^{N / 2 - 1} X [k] e^{i 2 π k n / N}

$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$

e^{i 2 π k n / N} = e^{i 2 π (k - N) n / N}

$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Continuando la analogía con la Serie Fourier, el DFT real da la representación Esto puede verse como emparejamiento con en la representación DFT donde la suma varía de a . Esto es muy parecido al emparejamiento que conecta las dos representaciones de un Serie de Fourier:

x [n] = \sum_{k = 0}^{N / 2} (X_{R} [k] \cos (\frac{2 π k n}{N}) - X_{I} [k] \sin (\frac{2 π k n}{N}))

$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$

e^{i 2 π k n / N}

$e^{i2\pi kn/N}$

e^{- i 2 π k n / N}

$e^{-i2\pi kn/N}$

k = - N / 2

$k=-N/2$

N / 2 - 1

$N/2-1$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

\sum_{- \infty}^{\infty} c_{n} e^{i n θ} = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{1}^{\infty} (a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ)

$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$

Mi preguntaentonces, ¿por qué el DFT es mucho más frecuente que el DFT real? Uno esperaría que, dado que el DFT real utiliza senos y cosenos valorados como base y, por lo tanto, representa mejor la imagen geométrica que a la gente le gustaría más. Puedo ver por qué la DFT y la Transformada continua de Fourier serían preferidas en un sentido teórico ya que el álgebra de exponenciales es más simple. Pero ignorando el álgebra más simple, desde un punto de vista práctico computacional aplicado, ¿por qué el DFT sería más útil? ¿Por qué sería más útil representar su señal con exponenciales complejos en diversas aplicaciones de física, habla, imagen, etc. que descomponer su señal en senos y cosenos? Además, si falta algo sutil en mi exposición anterior, me gustaría saber: yo '

dft

— usuario782220
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La transformación de Fourier discreta real es importante por la razón de que aplicar la DFT habitual a una secuencia real da como resultado cierta redundancia, ya que para una secuencia real de longitud con la transformación correspondiente , la secuencia es precisamente el complejo conjugado de la secuencia . Es lógico, entonces, que uno solo necesite las entradas correspondientes a las frecuencias positivas de la transformación. También se encontrará la llamada transformación de Hartley en este contexto. Se utilizan ambos enfoques.

N

$N$

x_{0}, x_{1}, \dots, x_{N - 1}

$x_0,x_1,\dots,x_{N-1}$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{N - 1}

$X_0,X_1,\dots,X_{N-1}$

X_{N - 1}, X_{N - 2}, \dots, X_{N / 2 + 1}

$X_{N-1},X_{N-2},\cdots,X_{N/2+1}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{N / 2 - 1}

$X_1,X_2,\dots,X_{N/2-1}$

Por cierto: recomiendo leer estos dos documentos sobre la transformación de Fourier real y la transformación de Hartley; hacen un buen trabajo al explicar el interés en estos métodos aparte del DFT en sí.

¿Es cierto que la matriz de la RDFT y la matriz de la DFT están relacionadas por un cambio de base? Y que el cambio de base es realmente una reflexión paralela a cómo la serie de Fourier puede representarse de dos maneras con coeficientes relacionados por . Y el punto clave en el contexto del DFT es que las frecuencias superiores deben considerarse como las frecuencias negativas para que sea posible hacer el emparejamiento para obtener senos y cosenos como en la serie de Fourier, dando el RDFT

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ} = a_{n} \cos n θ + b_{n} \sin n θ

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$

c_{n} e^{i n θ} + c_{- n} e^{- i n θ}

$c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}$

— user782220

Uno de los capítulos de Van Loan aborda su pregunta en detalle. Eso supone cierta habilidad con la manipulación de los productos Kronecker.

Como mínimo, debería tener menos preguntas de las que tiene ahora.

La ventaja de la DFT compleja o la transformada de Fourier compleja o la serie de Fourier compleja es que los sistemas lineales tienen la buena propiedad de que la respuesta a es . (Aquí puede ser una constante compleja). Entonces la salida es solo un múltiplo escalar de la entrada. Más importante aún, si tenemos una representación de la entrada como una suma ponderada de exponenciales complejos, la salida es solo otra suma ponderada de los mismos exponenciales. Diferentes pesos, pero el mismo conjunto de exponenciales . Además, cada nuevo peso se obtiene multiplicando el peso anterior por un número apropiado. $A\exp(j\omega t)$ $H(\omega)A\exp(j\omega t)$ $A$

Por supuesto, ningún sistema físico tiene señales de valores complejos que entran y salen; al menos, no a partir de hoy, aunque uno siempre puede esperar mejores cosas en el futuro. Mientras tanto, tomamos partes reales de las señales complejas, u obtenemos la respuesta a o través de la linealidad y la superposición y el uso liberal de $\cos(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\begin{aligned} \cos (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) + \exp (- j ω t)}{2} \\ \sin (ω t) & = \frac{\exp (j ω t) - \exp (- j ω t)}{2 j} \end{aligned}

$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$

En contraste, la respuesta a es de la forma . Entonces, si bien la linealidad y la superposición, etc., funcionan, la salida podría necesitar el uso de diferentes funciones básicas que la entrada. Muy estrechamente relacionado, por supuesto, pero aún posiblemente diferentes y quizás más funciones básicas podrían ser necesarias. Por ejemplo, la entrada está representada por una función básica, la salida por dos funciones básicas. Se puede argumentar que las funciones complejas requieren el doble de trabajo que las funciones reales, por lo que cualquier ahorro es puramente imaginario (juego de palabras), pero las representaciones complejas permiten $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ tratamiento uniforme mientras que las representaciones sin / cos no. ¡Rápido! Dada la respuesta a es , ¿cuál es la respuesta a ? Debe trabajar un poco, puede que necesite invocar fórmulas como y así sucesivamente. Con exponenciales complejos, la vida es mucho más fácil. $\cos(\omega t)$ $B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$ $\sin(\omega t)$

\cos (α + β) = \cos (α) \cos (β) - \sin (α) \sin (β)

$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Pero, como en la vida real, su kilometraje puede variar, y si siente que las representaciones de pecado / cos son el camino a seguir y deben evitarse los exponenciales complejos, puede seguir a su corazón. Si tiene dificultades para comunicar sus ideas a colegas, jefes, clientes o consultores, esa será su pérdida, no la suya.

— Dilip Sarwate
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