¿Puede existir un filtro causal sin cambios de fase?

Cuando estaba estudiando la dispersión del índice de refracción en semiconductores y dieléctricos, mi profesor intentó explicar que si un filtro (como un dieléctrico que absorbe algunas frecuencias de luz o un filtro RC eléctrico) elimina algunas frecuencias, entonces las restantes deben cambiar de fase. para compensar que esas frecuencias (que se extienden infinitamente en el tiempo como señales monocromáticas habituales) se restan de la señal completa, para preservar la causalidad.

Entiendo intuitivamente de qué estaba hablando, pero de lo que no estoy seguro es de si su argumento está realmente justificado, es decir, si puede existir un filtro no trivial, que absorbe algunas frecuencias y deja las restantes sin cambiar, pero aún conservando causalidad. Parece que no puedo construir uno, pero no puedo demostrar que no existe también.

Entonces, la pregunta es: ¿cómo se puede (des) probar que un filtro causal debe cambiar las fases de frecuencias entre sí?

Suponga que un filtro lineal tiene una respuesta de impulso $h(t)$ y una función de respuesta / transferencia de frecuencia $H(f) = \mathcal F [h(t)]$ , donde $H(f)$ tiene la propiedad de que $H(-f) = H^*(f)$ (restricción de conjugación).

Ahora, la respuesta de este filtro a la entrada exponencial compleja $x(t) = e^{j2\pi f t}$ es

¿Qué tal si, en lugar de ningún cambio de fase, estamos dispuestos a permitir un cambio de fase constante fijo para todas las frecuencias? Es decir, $\angle H(f) = \theta$ para todo $f$ es aceptable para nosotros donde $\theta$ no necesita ser $0$ ? La latitud extra no ayuda mucho, porque $\angle H(-f) = -\angle H(f)$ , por lo que $\angle H(f)$ no puede tener un valor constante fijo para todo $f$ menos que ese valor sea $0$ .

Concluimos que si un filtro no cambia la fase en absoluto, entonces $H(f)$ es una función de valor real, y debido a la restricción de conjugación, también es una función par de $f$ . Pero entonces su transformada de Fourier $h(t)$ es una función par del tiempo, y por lo tanto el filtro no puede ser causal (excepto en casos triviales): si su respuesta al impulso es distinta de cero para cualquier $t > 0$ particular , entonces también es diferente de cero. $-t$ (donde $-t < 0$ ).

Tenga en cuenta que el filtro no necesita estar haciendo ninguna supresión de frecuencia, es decir, no necesitamos suponer que algunas frecuencias son "eliminadas" por el filtro (como lo hace el filtro del profesor del OP) para probar la afirmación de que el cambio de fase cero no es posible con un filtro causal, supresor de frecuencia o no.

Hay filtros que causan un cambio de fase lineal, es decir, un retraso constante. No es posible filtrar nada (causalmente) sin causar ningún retraso.

El cambio de fase se debe al retraso de tiempo, es decir, el tiempo que tarda la señal en llegar desde la entrada a la salida de un sistema. Ahora, si el sistema no está causando ningún cambio de fase, significa que el retraso de tiempo es cero. Ahora piense en un sistema que está proporcionando salida en el mismo instante cuando se aplica la entrada. ¿Será eso posible? Por supuesto que no .si hay un sistema, entonces debe estar realizando algún tipo de trabajo en la señal que produce retraso y finalmente cambio de fase

Puede tener un filtro sin cambio de fase. Se llama un observador (predictor). Sin embargo, ya no es solo un filtro, sino un modelo matemático de cómo las lecturas de sensores múltiples se relacionan entre sí. Por lo tanto, puede predecir la señal y, por lo tanto, tener la mejor predicción posible de la señal real en el mismo instante en que realiza sus mediciones (sin cambio de fase).