¿Son los exponenciales complejos las únicas funciones propias de los sistemas LTI?

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¿Hay algún ejemplo de una función propia de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) que no sea un exponencial complejo? Las funciones propias de Justin Romberg de los sistemas LTI dicen que tales funciones existen, pero no puedo encontrar una.

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
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Todas las funciones propias de un sistema LTI se pueden describir en términos de exponenciales complejos, y los exponenciales complejos forman una base completa del espacio de la señal. Sin embargo, si tiene un sistema que es degenerado , lo que significa que tiene espacios propios de dimensión> 1, entonces los vectores propios del valor propio correspondiente son todas combinaciones lineales de vectores del subespacio. Y las combinaciones lineales de exponenciales complejos de diferentes frecuencias ya no son exponenciales complejos.

Ejemplo muy simple: el operador de identidad 1 como sistema LTI tiene todo el espacio de señal como espacio propio propio con valor propio 1. Eso implica que TODAS las funciones son funciones propias.

— Jazzmaniac
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Excepto la función nula, por supuesto :) Es broma

— Laurent Duval

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Pensé que había redactado mi respuesta claramente --- aparentemente no :-). La pregunta original era: "¿Hay señales propias además del complejo exponencial para un sistema LTI?". La respuesta es, si a uno se le da el hecho de que el sistema es LTI pero no se sabe nada más, entonces la única señal electrónica confirmada es el exponencial complejo. En casos específicos, el sistema también puede tener señales propias adicionales. El ejemplo que di fue el LPF ideal con sinc como señal propia. Tenga en cuenta que la función sinc no es una señal propia de un sistema LTI arbitrario. Le di al LPF y al sinc como ejemplo para señalar un caso no trivial --- x (t) = y (t) satisfará a un matemático pero no a un ingeniero: ->. Estoy seguro de que uno puede encontrar otros ejemplos específicos no triviales que tienen otras señales como señales propias además del exponencial complejo.

Además, cos y pecado no son, en general, señales propias. Si se aplica cos (wt) y la salida es A cos (wt + theta), entonces esta salida no puede expresarse como una constante por la entrada (excepto cuando theta es 0 o pi, o A = 0), que es la condición necesario para que una señal sea una señal propia. Puede haber condiciones bajo las cuales cos y sin son señales propias, pero son casos especiales y no generales.

RSE

— RSE
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¿Estás seguro de que entendiste mi comentario a tu otra respuesta? El punto es que para los sistemas LTI reales se espera que tenga un seno real como señal propia. Eso no significa que todos los senos de todas las frecuencias sean señales propias. Específicamente di la condición precisa para la cual son tales, y le expliqué por qué la mayoría de los sistemas LTI cumplen esa condición.

— Jazzmaniac

Además, no olvide que editó su respuesta para cambiar un poco el significado. El paso de "Para una función de transferencia racional no hay otras señales propias" a "Para sistemas arbitrarios no hay señales propias generales además ..." es bastante grande. Así que decirlo como si la gente no entendiera su respuesta correctamente es un poco demasiado.

— Jazzmaniac

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$\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— RSE
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Es todo lo contrario: la regla es que los sistemas LTI tienen espacios propios degenerados y, por lo tanto, vectores propios que no son exponenciales complejos. Considere un sistema con salida real. Entonces , lo que significa que si es real y , entonces ya tiene un subespacio propio bidimensional y el seno real es un vector propio. Eso significa que cualquier sistema LTI que tenga una respuesta de fase que se convierta en un múltiplo de para califica. Esa es la regla más que la excepción.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

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en realidad, cualquier exponencial puro es una función propia de un sistema LTI. Si no le importa tratar con cantidades que se acercan rápidamente a , entonces no existe un requisito teórico para que lo exponencial sea complejo o real.

\infty

$\infty$

— Robert Bristow-Johnson

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Sé que edité su respuesta (para que sea más clara y más correcta con la semántica), pero su respuesta es errónea. no es una función propia general de un sistema LTI general. que es una función propia para específico LTI que tiene pero no para otros.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— Robert Bristow-Johnson

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evidentemente, "si no te importa tratar con cantidades que se acercan rápidamente a ∞" no es lo mismo que "el espacio de señal que generalmente se considera ... el espacio de Hilbert manipulado de funciones integrables cuadradas". Todo lo que digo es que si es su entrada, entonces es su salida (donde es Laplace transformada de la respuesta al impulso LTI ). me parece una función propia. pero tienes razón sobre la especificación de CSR.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— Robert Bristow-Johnson

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@ Fat32, exigir un espacio funcional con buen comportamiento no se trata de estabilidad y está lejos de ser innecesario o arbitrario. La mayoría de los resultados útiles en la teoría del procesamiento de señales se basan en espacios de señal bien comportados. Especialmente útil es el teorema espectral ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ), y este teorema requiere ciertos espacios de función, de los cuales es una opción posible. Si desea aplicar este marco matemático (y confíe en mí, lo desea), entonces no puede aceptar las señales que propone como señales propias.

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac

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Tal vez objetos multidimensionales espacialmente invariantes como lentes con simetría circular. Se llama la expansión de Fourier Bessel. No hay T para el tiempo, pero las relaciones de dominio de frecuencia de convolución se mantienen