Mejora de SNR utilizando técnicas DSP

Estoy construyendo un sistema óptico OOK (On off Key Ring) sin una frecuencia portadora. [Sin embargo, tengo un tiempo de protección entre los símbolos, por lo que un mensaje "1" consecutivo dará como resultado un tren de pulsos en lugar de DC, ver imagen]. Esencialmente, la presencia de señal indica una y la falta de ella indica cero. Tengo un reloj preciso que sincroniza el receptor con el transmisor. El sistema funciona con una SNR baja y me gusta mejorar la SNR utilizando técnicas DSP.

Tengo algunas preguntas:

Hago un muestreo selectivo en mi hardware, en otras palabras, no muestro continuamente el canal, sino que solo muestro cuando la probabilidad de ver la señal es máxima (es decir, se trata de un pulso de luz, sincronizo el ADC de modo que las muestras de ADC al final del pulso donde sé que toda la cadena analógica está estabilizada). Ver imagen

Naturalmente, este dibujo no muestra el ruido pero está ahí. Este es particularmente un sistema de baja señal y las fuentes de ruido primario son ruido de disparo, ruido de Johnson y ruido interno de amplificadores. (sistema óptico para que no haya otro interferente excepto Sun) Mi observación del ruido indica que es similar en todas las frecuencias. (Al menos lo que veo en Scope)

Ahora uso una comparación de umbral simple en software para determinar si los datos son uno o cero. ¿Hay una mejor manera? He pensado en algunas opciones, pero me gusta saber de los expertos.

Hasta ahora he considerado las siguientes opciones:

• Haga un ADC continuo e intente integrarse durante el tiempo de subida: no estoy completamente seguro del beneficio (puede haber otros beneficios, no lo sé).

• Filtro combinado en el software: no entiendo realmente las matemáticas, pero según lo que leí, una posibilidad

• Muestree durante el tiempo de protección y reste esto del valor de ADC de la señal (Esto puede proporcionar algunos detalles adicionales pero tampoco es tan seguro, el tiempo de protección sería la medición del ruido)

• Cambiar el hardware a un decodificador síncrono, costoso, lento y puede que no funcione bien ya que mi velocidad de datos es rápida y obtener un demodulador síncrono significaría una placa costosa ya que tengo que construir un sistema de frecuencia portadora multi-MHz.

Como indicó que el espectro de potencia del ruido de fondo es plano, supondré que es blanco . Un inconveniente importante con su enfoque actual es que está descartando una gran cantidad de la potencia de la señal; incluso con el efecto de la limitación de banda frontal mostrada en su diagrama por la respuesta de paso de aumento exponencial, una sola muestra de ADC cerca del final del pulso redondeado proporciona una instantánea de la entrada del receptor que está bastante localizada en el tiempo. Puede aprovechar más potencia de la señal al muestrear a una velocidad más alta y aplicar un filtro adaptado a la frecuencia de muestreo más alta.

Teoría:

Puedes ver esto como un problema relativamente simple en la teoría de detección . En cada intervalo de símbolo, su receptor debe decidir entre dos hipótesis:

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& signal \ is \ not \ present \\ H_1 &:& signal \ is \ present \end{eqnarray*}$$

Este tipo de problema a menudo se resuelve utilizando reglas de decisión bayesianas , que intentan tomar la decisión óptima de acuerdo con alguna medida específica de riesgo. Esto proporciona un marco en el que uno puede tomar decisiones de detección de manera óptima en función de un conjunto flexible de criterios. Por ejemplo, si su sistema tiene una gran penalización por no detectar la señal si de hecho está presente (es decir, elige cuando H 1 es verdadero), puede incorporarlo a su regla de decisión si es necesario.$H_0$$H_1$

Para un problema de detección como el suyo, en el que está tratando de decidir entre ceros y unos en la salida del receptor, se supone que la penalización es igual (generar un cero cuando se transmitió uno y viceversa, "doler por igual" ) El enfoque bayesiano en ese caso se reduce a un estimador de máxima verosimilitud (también descrito aquí ): usted elige la hipótesis que es más probable, dada la observación que hace su receptor. Es decir, si la cantidad que observa su receptor es , generaría una decisión basada en la hipótesis que tiene el mayor valor de función de probabilidad . Para el caso de decisión binaria, la razón de probabilidad se puede usar en su lugar:$x$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ signal \ is \ not \ present)}{P(x\ |\ signal \ is \ present)}$$

Usando el modelo anterior, para cada observación del canal , el receptor óptimo decidiría que la señal no estaba presente (por lo tanto, emitiendo un cero) si la razón de probabilidad Λ ( x $x$$\Lambda(x)$ es mayor que uno (y, por lo tanto, la señal era más probable no estar presente en función de la observación), y viceversa.

Lo que queda es un modelo para la señal de interés y cualquier otro componente en la estadística de detección del receptor que pueda afectar sus decisiones. Para una comunicación digital como esta, podría modelarse de la siguiente manera:$x$

$$\begin{eqnarray*} H_0 &:& x = N \\ H_1 &:& x = s + N \end{eqnarray*}$$

donde es una variable aleatoria tomada de alguna distribución (a menudo se supone que es gaussiana de media cero) ys es un componente determinista de la observación que se debe a la señal que está buscando. La distribución del receptor observable $n$$s$$x$ , por lo tanto, varía dependiendo de si la hipótesis o H 1 es verdadera. Para evaluar la razón de probabilidad, necesita un modelo de cuáles son esas distribuciones. Para el caso gaussiano mencionado anteriormente, las matemáticas se ven así:$H_0$$H_1$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{P(x\ |\ x = N)}{P(x\ |\ x = s + N)}$$

$$\Lambda(x) = \frac{P(x\ |\ H_0 \ is \ true)}{P(x\ |\ H_1 \ is \ true)} = \frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}$$

dónde es la varianza del término de ruido gaussiano. Tenga en cuenta que el componente de señal aditiva solo tiene la función de desplazar la media de la distribución gaussiana resultante de x . La relaciónlog-verosimilitudse puede utilizar para deshacerse de los exponenciales:$\sigma^2$$x$

$$\ln(\Lambda(x)) = \ln\left(\frac{e^{\frac{-x^2}{2 \sigma^2}}}{e^{\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}}}\right) = \left(\frac{-x^2}{2 \sigma^2}\right) - \left(\frac{-(x - s)^2}{2 \sigma^2}\right)$$

Recuerde que nuestra regla de decisión eligió si la razón de probabilidad era mayor que uno. La regla de decisión de log-verosimilitud equivalente es elegir H 0 si el log-verosimilitud es mayor que cero. Algunos álgebra muestra que la regla de decisión se reduce a:$H_0$$H_0$

$$\begin{eqnarray*} x < \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_0 \\ x > \frac{s}{2} \rightarrow choose\ H_1 \end{eqnarray*}$$

Tenga en cuenta que si , entonces ambas hipótesis son igualmente probables, y tendrías que elegir una; Sin embargo, esta no es una preocupación práctica para las señales de valor continuo. Entonces, dada una amplitud de señal conocidas, podemos detectar su presencia en un contexto de ruido gaussiano de manera óptima estableciendo un umbralT=$x = \frac{s}{2}$$s$ ; Si el valor observadoxes mayor queT, declaramos la señal presente y emitimos un uno, y viceversa.$T = \frac{s}{2}$$x$$T$

Práctica:

Hay algunos problemas prácticos que se introducen en este sencillo ejemplo teórico de juguete. Uno: simplemente mapear el escenario que describió en un modelo engañosamente simple puede no parecer sencillo. En segundo lugar, es muy raro que usted sabría la amplitud de la señal que se está buscando, por lo que la selección del umbral requiere algo de reflexión.$s$

Como mencioné antes, a menudo se supone que el ruido es gaussiano porque la distribución normal es muy fácil de trabajar: la suma de un grupo de gaussianos independientes sigue siendo gaussiana, y su media y sus variaciones también se suman. Además, las estadísticas de primer y segundo orden de la distribución son suficientes para caracterizarlas por completo (dada la media y la varianza de una distribución gaussiana, puede escribir su pdf ). Entonces, espero que sea una aproximación decente al menos para su aplicación.

Hay dos formas de mejorar el rendimiento del detector dado el modelo descrito anteriormente: puede aumentar (es decir, aumentar la potencia de la señal), haciendo que se destaque más contra el ruido. Podría disminuir N (es decir, reducir la cantidad de ruido), reduciendo la cantidad de interferencia que hace que la presencia de s no esté clara. O, equivalentemente, puedes pensar en el$s$$N$$s$ relación señal / ruido . Para ver su importancia, volvamos a la teoría por un segundo. ¿Cuál es la probabilidad de un error de bit dada nuestra regla de decisión?

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& P(choose \ H_0 \ |\ H_1\ true) P(H_1\ true) + P(choose \ H_1 \ |\ H_0\ true) P(H_0\ true) \\ &=& \frac{1}{2} P(x < \frac{s}{2} \ |\ x = s + N) + \frac{1}{2} P(x > \frac{s}{2} \ |\ x = N) \\ &=& \frac{1}{2} F_{x\ |\ x = s + N}\left(\frac{s}{2}\right) + \frac{1}{2} \left(1 - F_{x\ |\ x = N}\left(\frac{s}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$$

$F_{x\ |\ x = s + N}(z)$$x$$x = s + N$

$$\begin{eqnarray*} P_e &=& \frac{1}{2} \left(1 - Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right)\right) + \frac{1}{2} Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{\frac{s}{2} - s}{\sigma}\right) + Q\left(\frac{\frac{s}{2}}{\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-s}{2\sigma}\right) + Q\left(\frac{s}{2\sigma}\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left(-Q\left(\frac{-SNR}{2}\right) + Q\left(\frac{SNR}{2}\right)\right) \\ &=& Q\left(\frac{SNR}{2}\right) \end{eqnarray*}$$

$Q(x)$ es la función Q :

$$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{\frac{-z^2}{2}} dz$$

$1$$SNR$$\frac{s}{\sigma}$$SNR$$s$$\sigma$

$s$$x_1$$x_2$$x_1$ y la suma de dos independientes?

$$SNR_1 = \frac{s}{\sigma}$$

$$SNR_2 = \frac{2s}{\sqrt{2 \sigma}} = \sqrt{2}SNR_1$$

Por lo tanto, la relación señal / ruido en la observación combinada es mayor que el uso de una sola muestra (bajo el supuesto de componente de señal igual y ruido gaussiano blanco de igual varianza en ambas muestras que tomamos). Esta es una observación básica que señala los beneficios potenciales de tomar más de una muestra por intervalo de símbolo e integrarlos juntos (que, para un pulso rectangular, es un filtro adaptado). En general, desea cubrir todo el intervalo de símbolos con muestras para que su receptor "ingiera" la mayor cantidad de energía transmitida para cada símbolo, maximizando así la SNR en la salida combinada. La relación entre la energía del símbolo y la variación del ruido de fondo.$\frac{E_s}{N_0}$ se usa a menudo como una figura de mérito al evaluar el rendimiento del sistema de comunicaciones digitales.

Más rigurosamente, se puede demostrar que un filtro adaptado tiene una respuesta de impulso de forma idéntica (es decir, "adaptado", con la única excepción sutil de que la respuesta de impulso se invierte en el tiempo) a la forma de impulso que el receptor ve (por lo tanto, pesa más fuertemente las muestras que tienen componentes de señal más grandes). Esa forma es una función de la forma del pulso transmitido, así como de cualquier efecto inducido por el canal o el extremo frontal del receptor, como la limitación de banda o multitrayectoria .

$x$

$s$ ; otras constelaciones de señal, como la señalización antipodal (p. ej. , desplazamiento de fase binaria o BPSK ) tienen una opción de umbral más obvia (para BPSK, el mejor umbral es cero para datos igualmente probables).

Una implementación simple de un selector de umbral para OOK podría calcular la media de muchas observaciones. Suponiendo que los ceros y unos sean igualmente probables, el valor esperado de la variable aleatoria resultante es la mitad de la amplitud de la señal, que es el umbral que busca. Realizar esta operación sobre una ventana deslizante puede permitirle ser algo adaptable a las diferentes condiciones de fondo.

Tenga en cuenta que esto solo pretende ser una introducción de alto nivel a los problemas inherentes a las comunicaciones digitales con respecto a la teoría de detección. Puede ser un tema muy complicado, con muchas estadísticas involucradas; Traté de hacerlo algo fácil de entender mientras me mantenía fiel a la teoría subyacente. Para una mejor explicación, busca un buen libro de texto, como el de Sklar .

Una posible técnica podría ser tratar de usar secuencias de entrenamiento periódicas para recopilar estadísticas, no solo para diferenciar entre los 1 y los 0, o para calcular una métrica de confiabilidad para cualquier umbral dado, sino para analizar cómo varias secuencias de bits pueden afectar un umbral de decisión de bits adaptativo .