Derivando la transformada de Fourier de coseno y seno

En esta respuesta, Jim Clay escribe:

... use el hecho de que ...$\mathcal F\{\cos(x)\} = \frac{\delta(w - 1) + \delta(w + 1)}{2}$

La expresión anterior no es muy diferente de .$\mathcal F\{{\cos(2\pi f_0t)\}=\frac{1}{2}(\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0))}$

He estado tratando de obtener la expresión posterior utilizando la definición estándar de la transformada de Fourier pero todo lo que termino con es una expresión tan diferente de lo que aparentemente es la respuesta.$X(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j2\pi ft}dt$

Aquí está mi trabajo:

$$\begin{align} x(t)&=\cos(2\pi f_0t)\\ \Longrightarrow \mathcal F\left\{x(t)\right\}&=\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(2\pi f_0t)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac 12 \left(e^{-j2\pi f_0t}+e^{j2\pi f_0t}\right)e^{-j2\pi ft}dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}+e^{j2\pi f_0t}e^{-j2\pi ft}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t\left(f_0+f\right)}+e^{-j2\pi t\left(f-f_0\right)}\right)dt\\ &=\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f_0+f)}\right)dt+\int_{-\infty}^{+\infty}\left(e^{-j2\pi t(f-f_0)}\right)\right) dt \end{align}$$

Aquí es donde estoy atrapado.

Su trabajo está bien, excepto por el problema de que la transformada de Fourier de no existe en el sentido habitual de una función de , y tenemos que extender la noción para incluir lo que se llama distribuciones, o impulsos, o deltas de Dirac, o (como solemos hacer los ingenieros, para disgusto de los matemáticos) funciones delta . Lea acerca de las condiciones que deben cumplirse para que exista la transformada de Fourier de la señal (en el sentido habitual) y verá que no tiene una transformada de Fourier en el sentido habitual.$\cos(2\pi f_0 t)$$f$$X(f)$$x(t)$$\cos(2\pi f_0 t)$

Volviendo a su pregunta específica, una vez que comprende que los impulsos se definen solo en términos de cómo se comportan como integrantes en una integral, es decir, para , siempre que sea ​​continua en , entonces es más fácil deducir la transformada de Fourier de reflexionando sobre el hecho de que y entonces debe ser que es el inverso Transformada de Fourier de$a < x_0 < b$

$$\int_{a}^{b} \delta(x-x_0)g(x)\,\mathrm dx = g(x_0)$$ $g(x)$$x_0$ $$\cos(2\pi f_0 t) = \left.\left.\frac{1}{2}\right[e^{j2\pi f_0 t} + e^{-j2\pi f_0 t}\right]$$ $$\int_{-\infty}^\infty \delta(f-f_0)e^{j2\pi ft}\,\mathrm df = e^{j2\pi f_0t}$$ $\cos(2\pi f_0 t)$$\displaystyle \left.\left.\frac{1}{2}\right[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]$ .

Luego, use una tabla de pares de transformadas de Fourier para ver que , y la sustitución de variables ( y ), para obtener lo que necesita.$\delta(t) \leftrightarrow 1$$f_1 = f+f_0$$f_2 = f-f_0$