¿Hay alguna manera de obtener la respuesta de impulso de un sistema discreto simplemente sabiendo que es la respuesta a la función de paso de unidad discreta?

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En tiempo continuo era posible;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ system ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

Lo mismo se aplica para el sistema de tiempo discreto, es decir,

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

¿Hay alguna manera de obtener la respuesta de impulso de un sistema discreto simplemente conociendo la respuesta del paso de unidad discreta?

discrete-signals linear-systems

— Pyler
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Impresionante pregunta! Bienvenido a DSP.SE. Quédate y contribuye!

— Phonon el

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Una versión más simple de la respuesta de Phonon es la siguiente.

Suponga que denota la respuesta del sistema a la función de paso unitario. Entonces, como se discutió en esta respuesta , en general, es la suma de copias escaladas y con retraso de tiempo de la respuesta al impulso, y en este caso particular, no se requiere escala; Solo retrasos de tiempo. Por lo tanto, $y$ $y$ donde cada columna de la derecha es una respuesta de impulso (sin escala y con retraso de tiempo). Por lo tanto, fácilmente obtenemos que

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

con ninguna mención de filtros, inversas, convoluciones, integración, operadores y similares, solo consecuencias simples de la definición de sistema lineal invariante en el tiempo.

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

— Dilip Sarwate
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Claramente has hecho esto por más tiempo que yo =)

— Phonon

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$D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

$u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

a [n] * b [n] = b [n] * a [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

(a [n] * b [n]) * c [n] = a [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

x [n] = δ [n] * x [n] = u [n] * d [n] * x [n] = d [n] * u [n] * x [n] = d [n] * (u [n] * x [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

$x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— Phonon
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Suposiciones

$h(t)$ $s(t)$
$h[n]$ $s[n]$

Intuitivamente hablando, la integración en el dominio del tiempo continuo es equivalente a la suma en el dominio del tiempo discreto. Del mismo modo, la derivada en el dominio del tiempo continuo es equivalente a la diferencia finita en el dominio discreto.

$u$ $\delta$

$u(t) = \int \delta(t)$
$u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$ $h$

$s(t) = \int h(t)$
$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Ahora, si observa cuidadosamente la última ecuación:

s [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

$h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— nurabha
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