¿Hay alternativas a la transformación bilineal?

Cuando diseñamos un filtro digital basado en un filtro analógico, usualmente usamos la transformación bilineal . Para aproximar una función de transferencia discreta de la función de transferencia analógica (continua) , sustituimos$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

donde es el período de muestreo. Alternativamente, para aproximar una función de transferencia continua de la función de transferencia discreta , sustituimos$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

¿Existen métodos alternativos para realizar tales conversiones? ¿Hay mejores aproximaciones?

Los filtros analógicos son estables si los polos están en la mitad izquierda del plano s (figura a la izquierda) y los filtros digitales son estables si los polos están dentro del círculo unitario (figura a la derecha). Entonces, matemáticamente, todo lo que se necesita para convertir de analógico a digital es un mapeo (¿conforme?) Desde el medio espacio al disco de la unidad y el al círculo de la unidad . Cualquier transformación que haga esto es un posible candidato para ser una alternativa a la transformación bilateral.$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

Dos de los métodos bien conocidos son el método de invariancia de impulso y el método de transformación Z emparejado . Conceptualmente, ambos son similares al muestreo de una forma de onda continua con la que estamos familiarizados. Denotando la transformada inversa de Laplace por y la transformada Z como , ambos métodos implican calcular la respuesta al impulso del filtro analógico como$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

y muestrear en un intervalo de muestreo que es lo suficientemente alto como para evitar el aliasing. La función de transferencia del filtro digital se obtiene de la secuencia muestreada como$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

Sin embargo, hay diferencias clave entre los dos.

Método de invariancia de impulso:

En este método, expande la función de transferencia analógica como fracciones parciales (no en la transformación Z coincidente como lo menciona Peter ) como

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

donde es una constante y son los polos. Matemáticamente, cualquier función de transferencia con un numerador de menor grado que el denominador se puede expresar como una suma de fracciones parciales . Solo los filtros de paso bajo satisfacen este criterio (el paso alto y el paso de banda / parada de banda tienen al menos el mismo grado) y, por lo tanto, el método de impulso invariante no se puede utilizar para diseñar otros filtros.$C_m$$\alpha_m$

La razón por la que falla también es bastante clara. Si tuviera un polinomio en el numerador del mismo grado que en el denominador, tendrá un término constante independiente, que al transformarse inversamente, dará una función delta que no se puede muestrear.

Si lleva a cabo la transformación inversa de Laplace y Z hacia adelante, verá que los polos se transforman como que significa que si su filtro analógico es estable, el filtro digital también será estable . Por lo tanto, preserva la estabilidad del filtro.$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

Transformada Z combinada

En este método, en lugar de dividir la respuesta al impulso como fracciones parciales, realiza una transformación simple de los polos y los ceros de manera similar (coincidente) como y (también preservando la estabilidad), dando$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

Puede ver fácilmente la limitación de ambos métodos. Impulse invariante es aplicable solo si su filtro es de paso bajo y el método de transformación z combinado es aplicable a los filtros de paso de banda y paso de banda (y paso alto hasta la frecuencia Nyquist). También están limitados en la práctica por la frecuencia de muestreo (después de todo, solo puede llegar a un cierto punto) y sufren los efectos del aliasing.

La transformación bilineal es, con mucho, el método más utilizado en la práctica y los dos anteriores son más bien para intereses académicos. En cuanto a la conversión a analógico, lo siento, pero no lo sé y no puedo ser de mucha ayuda, ya que casi nunca uso filtros analógicos.

Hay muchas formas de hacer el mapeo de a . La comunidad de control tiene algunas cosas que decir al respecto.$s$$z$

Algunos ejemplos son:

La transformación Z combinada

Aquí, la función de transferencia de dominio se escribe como una expansión de fracción parcial:$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

Y la conversión de cada parte de la expansión de fracción parcial se realiza directamente usando:

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

La regla de Simpson

Una interpretación de la transformación bilineal es que es una forma de transformar de tiempo continuo a tiempo discreto mediante integración aproximada usando la regla trapezoidal .

Una técnica más precisa para la integración aproximada utiliza la regla de Simpson. Si se utiliza esta aproximación, la asignación resultante es:

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$