Pregunta sobre la matriz de covarianza de 2 señales espaciales

Cada vez que creo haber entendido la matriz de covarianza, alguien más aparece con una formulación diferente.

Actualmente estoy leyendo este documento:

J. Benesty, "Algoritmo de descomposición adaptativo del valor propio para la localización pasiva de la fuente acústica" , J. Acoust. Soc. A.m. Volumen 107 , Número 1, pp. 384-391 (2000)

y me he encontrado con una formulación que no entiendo del todo. Aquí, el autor está construyendo la matriz de covarianza entre dos señales, $x_1$ y $x_2$ . Esas dos señales son de diferentes sensores.

Para la matriz de covarianza de una señal, sé que podemos obtenerla calculando la matriz de regresión, y luego multiplicándola por el Hermitian de esa misma matriz, y dividiendo por $N$ , la longitud del vector original. El tamaño de la matriz de covarianza aquí puede ser arbitraria, con un tamaño máximo siendo $N\times N$ .

Para la matriz de covarianza de dos señales espaciales, si colocamos la primera señal en la primera fila y la segunda señal en la segunda fila de una matriz, luego se multiplica por su Hermitiano, y también se divide por $N$ , entonces obtenemos un $2\times 2$ matriz de covarianza de ambas señales espaciales.

Sin embargo, en este artículo, el autor calcula lo que parecen cuatro matrices, y R $R_1{}_1, R_1{}_2, R_2{}_1$ , y luego los coloca en una supermatriz y la llama matriz de covarianza.$R_2{}_2$

¿Por qué esto es tan? Aquí hay una imagen del texto:

Si tiene dos vectores de señal y x 2 [ n ] cada uno de los N elementos, entonces hay dos cosas diferentes que podemos considerar.$x_1[n]$$x_2[n]$$N$

1. ¿Cómo se comparan las cantidades ? En particular, cuando las señales son ruidosas y los ruidos pueden considerarse estacionarios en conjunto (o estacionarios en sentido amplio), estas cantidades se pueden usar para estimar las variaciones de ruido en las dos señales, así como la covarianza de los ruidos en cualquier tiempo de muestreo fijo. Esto es lo que obtienes del 2 × $\displaystyle\sum_{n=1}^N x_i[n]x_j[n],~ i, j \in \{1,2\}$$2\times 2$ matriz de covarianza El ruido en

   $$R_{2\times 2} = \left[\begin{matrix} \sigma_1^2 & C\\ C & \sigma_2^2\end{matrix}\right].$$ tiene una varianza σ 2 1 = R 1 , 1 que puede ser diferente de R 2 , 2 = σ 2 2 , la varianza del ruido en x 2 [ n ] . Pero los ruidos están correlacionados con la covarianza R $x_1[n]$$\sigma_1^2 = R_{1,1}$$R_{2,2} = \sigma_2^2$$x_2[n]$ . Ahora, si planeamos hacer las cosas con lo que sucede en n , ignorando lo que pueda estar sucediendo en n - 1 o n + 1 , etc., esta es toda la información que necesitamos.$R_{1.2}=R_{2,1} = C$$n$$n-1$$n+1$

2. A menos que se sepa que el ruido es (o se supone que es) ruido blanco, de modo que las muestras de ruido de diferentes instantes de muestreo son independientes (y por lo tanto no correlacionadas) o simplemente asumimos muestras de ruido no correlacionadas, hay información que ignoramos al no considerar la correlación entre y x 1 [ m ] , las muestras procedentes del mismo proceso en diferentes momentos o lugares, y la correlación entre x 1 [ n ] y x 2 [ m $x_1[n]$$x_1[m]$$x_1[n]$$x_2[m]$, muestras de los dos procesos en diferentes momentos o ubicaciones. Esta información adicional podría conducir a una mejor estimación / solución. Ahora tenemos un total de muestras de ruido de y, por lo tanto, una matriz de covarianza de 2 N × 2 N a considerar. Si arreglamos las cosas como lo hicieron los autores, tenemos R completo = E [ X X T ] donde X = ( x 1 [ 1 ] , x 1 [ 2 ] , … , x 1$2N$$2N \times 2N$$R_{\text{full}} = E[XX^T]$ y así R completo = [ R x 1 , x 1 R x 1 , x 2 R x 2 , x 1 R x 2

   $$X = (x_1[1],x_1[2],\ldots,x_1[N],x_2[1],x_2[2],\ldots,x_2[N])^T = (\mathbf x_1,\mathbf x_2)^T$$ dondeRxi,xj=E[xixTj]. Tenga en cuenta queRxi,xjes, en esencia, la función decorrelación cruzadade(xi[1],xi[2],…,xi[N]) y(xj[ $$R_{\text{full}} = \left[ \begin{matrix}R_{\mathbf x_1,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_1,\mathbf x_2}\\ R_{\mathbf x_2,\mathbf x_1} & R_{\mathbf x_2,\mathbf x_2}\end{matrix} \right]$$ $R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j} = E[\mathbf x_i\mathbf x_j^T]$$R_{\mathbf x_i,\mathbf x_j}$$(x_i[1],x_i[2],\ldots,x_i[N])$ si i ≠ j y la función deautocorrelaciónsi i = j . Si los procesos de ruido son blancos y no están correlacionados, excepto cuando n = m , entonces R completo → R simple = [ σ 2 1 I C I C I σ 2 2 I ] donde$(x_j[1],x_j[2],\ldots,x_j[N])$$i \neq j$$i = j$$n = m$ $$R_{\text{full}} \rightarrow R_{\text{simple}} = \left[ \begin{matrix}\sigma_1^2I & CI\\ CI & \sigma_2^2I \end{matrix}\right]$$ es lamatriz de identidad N × N , y σ 2 1 , σ 2 2 y C son como se definen en el punto 1 anterior. Qué tan realista podría ser este modelo de ruido es algo que el usuario final debe determinar. Si el modeloesrealista, a continuación, no se gana nada por mirar el 2 N × 2 N matriz R completa ya que toda la información está ahí en el 2 × 2 matriz R 2 × $I$$N\times N$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$2\times 2$$R_{2\times 2}$del punto 1 anterior. Lo mismo ocurre si el modelo no es realista pero no pretendemos (o no podemos) usar toda la información en la matriz completa de R completa ; lo haremos con solo σ 2 1 , σ 2 2 y C de la Parte 1 para la cual no necesitamos R completo o R simple , solo R 2 × 2 .$2N\times 2N$$R_{\text{full}}$$\sigma_1^2, \sigma_2^2$$C$$R_{\text{full}}$$R_{\text{simple}}$$R_{2\times 2}$