¿Ideal LPF BIBO es inestable?

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En una de las otras discusiones: ¿Cómo encontrar la respuesta de frecuencia, la estabilidad y la causalidad de un sistema lineal?

Encontré un comentario que fue bastante fuerte y definitivamente llamó mi atención.

Un filtro de paso bajo ideal es un ejemplo de un sistema que no es estable BIBO a pesar de que su respuesta de frecuencia está limitada para todos los $f$

Estoy siguiendo la definición de estabilidad según aquí en wiki http://en.wikipedia.org/wiki/BIBO_stability

¿Alguien puede darme una prueba de que el LPF ideal puede ser BIBO inestable?

Por supuesto, el LPF ideal con ganancia infinita puede producir una salida ilimitada. La pregunta está restringida a LPF cuando la ganancia es finita.

filters linear-systems

— Dipan Mehta
fuente

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Un LPF ideal tiene una respuesta al impulso de la forma

que no satisface la condición

necesario para la estabilidad de BIBO. Por lo tanto, la respuesta en

a la señal limitada

(que cambia de un lado a otro entre

h (t) = sinc (t)

$h(t) =\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt < \infty$

t = 0

$t=0$

x (t) = sgn (sinc (t))

$x(t) = \text{sgn}(\text{sinc}(t))$

y

) es

y, por lo tanto, un LPF ideal no es un sistema estable BIBO.

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

\int h (- t) x (t) d t = \int h (t) x (t) d t = \int | h (t) | d t = \infty

$\int h(-t)x(t)dt = \int h(t)x(t)dt = \int |h(t)|dt = \infty$

— Dilip Sarwate

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Esta respuesta es una respuesta a un comentario del OP sobre la respuesta de yoda.

Suponga que , la respuesta al impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo de tiempo continuo, tiene la propiedad de que para algún número finito . Luego, para cada entrada limitada , la salida también está limitada. Si para todos $h(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = M

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt = M$

M

$M$

x (t)

$x(t)$

y (t)

$y(t)$

| x (t) | \leq \hat{M}

$|x(t)| \leq \hat{M}$

t

$t$ donde

es un número finito, entonces

para todos

donde

es también un número finito. La prueba es sencilla.

\hat{M}

$\hat{M}$

| y (t) | \leq \hat{M} M

$|y(t)| \leq \hat{M}M$

t

$t$

\hat{M} M

$\hat{M}M$

En otras palabras,

está acotado siempre que

está acotado.

\begin{aligned} | y (t) | & = | \int_{- \infty}^{\infty} h (τ) x (t - τ) d τ | \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) x (t - τ) | d τ \\ \leq \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | \cdot | x (t - τ) | d τ \\ \leq \hat{M} \int_{- \infty}^{\infty} | h (τ) | d τ \\ = \hat{M} M . \end{aligned}

$\begin{align*} |y(t)| &= \left |\int_{-\infty}^\infty h(\tau)x(t - \tau)\mathrm d\tau\right |\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\cdot|x(t - \tau)|\mathrm d\tau\\ &\leq \hat{M}\int_{-\infty}^\infty |h(\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \hat{M}M. \end{align*}$

y (t)

$y(t)$

x (t)

$x(t)$

Por lo tanto, la condición es suficiente para la estabilidad de BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

La condición también es necesario para la estabilidad de BIBO. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

$x(t) = \text{sgn}(h(-t)) ~\forall~ t$ $|x(t)| \leq 1$ $t$ $t=0$

\begin{aligned} y (0) & = \int_{- \infty}^{\infty} h (0 - τ) x (- τ) d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} h (- τ) sgn (h (- τ)) d τ & = \int_{- \infty}^{\infty} | h (- τ) | d τ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t . \end{aligned}

$\begin{align*} y(0) &= \int_{-\infty}^\infty h(0-\tau)x(-\tau)\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty h(-\tau)\text{sgn}(h(-\tau))\mathrm d\tau &= \int_{-\infty}^\infty |h(-\tau)|\mathrm d\tau\\ &= \int_{-\infty}^\infty |h(t)|\mathrm dt. \end{align*}$

y (0)

$y(0)$

\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| \mathrm dt < \infty$

La prueba para sistemas de tiempo discreto es similar con el cambio obvio de que todas las integrales son reemplazadas por sumas.

Los LPF ideales no son sistemas estables a BIBO porque la respuesta al impulso no es absolutamente integrable, como se indica en la respuesta de yoda. Pero su respuesta realmente no responde la pregunta

¿Alguien puede darme una prueba de que el LPF ideal puede ser BIBO inestable?

Un ejemplo específico de una señal de entrada limitada que produce una salida ilimitada de un LPF ideal (y por lo tanto demuestra que el sistema no es estable a BIBO) puede construirse como se describe anteriormente (ver también mi comentario sobre la pregunta principal).

— Dilip Sarwate
fuente

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$L^1$ $\ell^1$

Para un sistema continuo de tiempo invariante de tiempo lineal (LTI), la condición para la estabilidad BIBO es que la respuesta al impulso sea absolutamente integrable, es decir, su norma L1 exista.

$\int_{- \infty}^{\infty} | h (t) | d t = ‖ h (t) ‖_{1} < \infty$ $\int_{-\infty}^\infty |h(t)|\ dt=\Vert h(t)\Vert_1<\infty$

$\text{sinc}$ $L^2$ $L^1$ $\text{sinc}(t)$

\int_{- \infty}^{\infty} | sinc (t) | d t = \infty

$\int_{-\infty}^\infty |\text{sinc}(t)|\ dt=\infty$

Por lo tanto, un LPF ideal no es BIBO estable a pesar de que su respuesta de frecuencia está limitada para todo . $f$

— Lorem Ipsum
fuente

Por lo que pensé, la respuesta al impulso sería absolutamente sumable, es decir, su norma L1 existe. es una condición suficiente para que un sistema sea estable BIBO. Sin embargo, ¿es esta una condición necesaria que debe cumplir?

— Dipan Mehta

-2

La transformada de Fourier de lpf ideal es la función sinc en el dominio del tiempo que existe desde -infinito hasta + infinito, por lo que no es causal y el área dentro de ella es infinita, así que no tiene límites. ..

— pankaj kumar singh
fuente

1

Bienvenido a DSP.SE! Gracias por su respuesta, pero no creo que agregue nada a las respuestas existentes. Además, no es cierto que el área bajo la función sinc sea ilimitada, es el área bajo la magnitud de la función sinc la que no tiene límites. Esto último provoca la inestabilidad del sistema.

— Matt L.