¿Cuáles son las ventajas, si las hay, del muestreo derivado?

En Cinco cuentos sobre la serie cardinal , el autor hace el siguiente comentario:$[1]$

Curiosamente, Shannon continúa mencionando que otros conjuntos de datos también se pueden usar para determinar la señal de banda limitada, por ejemplo, los valores de ƒ y su primera derivada en cualquier otro punto de muestra, los valores de ƒ y su primer y segundas derivadas en cada tercer punto de muestra, y así sucesivamente.

El documento menciona algunos desarrollos históricos, pero tengo curiosidad por saber cuáles son las "aplicaciones asesinas" para el muestreo derivado. ¿Tiene algún otro nombre? ¿Hay más generalizaciones de este enfoque?

Una descripción general simple o punteros a algunas referencias sería genial.

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1. JR Higgins, Cinco historias cortas sobre la serie cardinal , Bull. Amer Matemáticas. Soc. (NS) 12 (1985), no. 1, 45-89. http://bit.ly/plioNg

Papoulis introdujo una generalización del teorema de muestreo [1], del cual el enfoque de muestreo derivado es un caso. La esencia del teorema, citando de [2] es:

En 1977, Papoulis introdujo una poderosa extensión de la teoría de muestreo de Shannon, que muestra que una señal de banda limitada podría reconstruirse exactamente a partir de las muestras de la respuesta de sistemas invariantes de desplazamiento lineal muestreados a 1 / m de la tasa de reconstrucción.$m$$1/m$

Quizás una razón por la que es difícil buscar el término es porque el teorema de muestreo generalizado de Papoulis se menciona con más frecuencia que el "muestreo derivado". [2] también es un artículo muy bueno que presenta una visión general de los enfoques de muestreo en el momento de la publicación. [3], también por el mismo autor, es una extensión de [1] a la clase de funciones no limitadas de banda.

En cuanto a las aplicaciones, en un artículo reciente [4], el enfoque de muestreo derivado se utiliza para diseñar filtros de retardo fraccional de banda ancha y los autores muestran que el muestreo de la derivada produce errores más pequeños. Del resumen:

En este artículo, se investiga el diseño del filtro de retardo fraccional de banda ancha. Primero, la fórmula de reconstrucción del método de muestreo derivado se aplica al diseño del filtro de retardo fraccional de banda ancha mediante el uso de sustitución de índice y método de ventana. ... Finalmente, se demuestran ejemplos numéricos que muestran que el método propuesto tiene un error de diseño más pequeño que el filtro de retardo fraccional convencional sin muestrear la derivada de la señal.

Si bien ciertamente hay más, me abstendré de publicar más referencias y aplicaciones para mantenerlo corto (y evitar que se convierta en una lista). Un buen punto para comenzar a buscar sería verificar qué documentos han citado [1] - [3] y reducir la lista en función del resumen.

[1]: A. Papoulis, "Expansión de muestreo generalizada", IEEE Trans. Circuitos y sistemas , vol. 24, no. 11, págs. 652-654, 1977.

[2]: M. Unser, "Muestreo - 50 años después de Shannon", Actas del IEEE , vol. 88, núm. 4, p. 569-587, 2000

[3]: M. Unser y J. Zerubia, "Una teoría de muestreo generalizada sin restricciones de limitación de banda", IEEE Trans. Circuitos y Sistemas II , vol. 45, núm. 8, p. 959–969, 1998

[4]: CC Tseng y SL Lee, "Diseño de filtros de retardo fraccional de banda ancha utilizando el método de muestreo derivado", IEEE Trans. Circuitos y sistemas I , vol. 57, núm. 8, p. 2087-2098, 2010

No conozco ninguna aplicación de dicho esquema de muestreo. Por lo general, es más difícil muestrear con precisión la derivada de una señal que su valor instantáneo (los diferenciadores son vulnerables al ruido de alta frecuencia debido a su respuesta de frecuencia en forma de rampa). Como señaló el endolito en el comentario anterior, si tiene suficiente información en sus muestras discretas para reconstruir la señal original, puede calcular todas las derivadas que desee.

Ese es un artículo muy bueno con el que se vinculó (no lo había leído antes), y de hecho, ¡la respuesta que busca está en ese mismo artículo en §2.3! He reproducido a continuación una parte del §2.3 que es relevante.

2.3 Muestreo derivado

Para ilustrar una situación práctica de muestreo, J. Fogel (1955) ha mencionado el ejemplo del panel de instrumentos de un piloto de avión, que tradicionalmente consiste en diales con punteros que proporcionan información sobre la altitud, actitud, velocidad, etc. del avión. Los pilotos escanean sus instrumentos , obteniendo información de cualquiera de ellos de forma periódica. Es posible que la información derivada también esté disponible para el piloto; ¡Por ejemplo, se notará que el altímetro se está "desenrollando" a un ritmo alarmante si el avión se sumergiera en la nariz! Es concebible que también se pueda observar la aceleración del puntero;$r$$f$$[-\pi W,\pi W]$$f'$

$$f(t)=\sum\left\{f\left(\frac{2\pi}{W}\right)+\left(t-\frac{2\pi}{W}\right)f'\left(\frac{2\pi}{W}\right)\right\}\left\{\frac{\sin \pi(Wt-2n)/2}{\pi(Wt-2n)/2}\right\}^2$$

Creo que esta sigue siendo una aplicación muy válida de muestreo derivado, ya que los aviones no han pasado de moda. Es posible que haya habido otros avances tecnológicos (que desconozco) que podrían hacer innecesario el uso del muestreo derivado en estos días, pero el punto sigue siendo.

LJ Fogel (1955), Una nota sobre el teorema de muestreo , IRE Trans. Informar. Teoría 1 , 47–48

DL Jagerman y LJ Fogel (1956), Algunos aspectos generales del teorema de muestreo , IEEE Trans. Informar. Teoría 2 , 139-156