Inconsistencia de cálculo de coherencia de magnitud al cuadrado

Tengo que calcular la coherencia de magnitud al cuadrado (MSC) entre dos señales. Sin embargo, usando una rutina que usa solo un cono (o ninguno) mi resultado siempre es 1, a pesar de que las señales son claramente diferentes. Esto no sucede si uso más de un cono. Buscando una explicación para este resultado anormal, llego con una característica confusa del MSC mismo. La definición que estoy usando es esta

γ^{2} (ω) = \frac{El | X (ω) \bar{Y (ω)} {El |}^{2}}{(X (ω) \bar{X (ω)}) . (Y (ω) \bar{Y (ω)})}

$\gamma^2(\omega)=\frac{ |X(\omega)\overline{Y(\omega)}| ^2}{(X(\omega)\overline{X(\omega)}).(Y(\omega)\overline{Y(\omega)}) }$

X e Y son las señales transformadas de Fourier que dependen de la frecuencia $\omega$ . Sin embargo, si toma dos números complejos como el valor de estas funciones en alguna frecuencia fija, el resultado es siempre 1. Sabiendo que $|z|^2=z\overline{z}$ entonces

γ^{2} = \frac{(X \bar{Y}) \bar{(X \bar{Y})}}{X \bar{X} Y \bar{Y}} = \frac{(X \bar{Y}) (\bar{X} Y)}{X \bar{X} Y \bar{Y}} = \frac{X \bar{X} Y \bar{Y}}{X \bar{X} Y \bar{Y}} = 1

$\gamma^2=\frac{(X\overline{Y})\overline{(X\overline{Y})} }{X\overline{X}Y\overline{Y}}=\frac{(X\overline{Y})(\overline{X}Y) }{X\overline{X}Y\overline{Y}}=\frac{X\overline{X}Y\overline{Y} }{X\overline{X}Y\overline{Y}}=1$

Ciertamente debe haber algo que debo estar malentendiendo, pero no puedo ver qué es. ¿Alguien puede explicarme cuál es la trampa?

Editar: voy a usar algunos enlaces de matlab como fuentes confiables. Definición de coherencia MS

http://www.mathworks.com/help/signal/ref/mscohere.html

definición de densidad espectral de potencia cruzada

http://www.mathworks.com/help/signal/ref/cpsd.html

(la densidad espectral de potencia es el " auto densidad -cross" espectral, es decir, la transformada de Fourier de la autocorrelación) Una propiedad importante de la transformada de Fourier de la correlación cruzada se puede encontrar en wikipedia bajo "propiedades".

Se puede encontrar otra fuente buscando en Google bajo el nombre "Función de coherencia en el procesamiento de señales biomédicas". Lo siento, no publiqué los enlaces directos aquí, no tengo suficiente "reputación"

— Tojur
fuente

Sería útil incluir una referencia de dónde obtuviste tu definición de

γ^{2} (ω)

$\gamma^2(\omega)$ . Las medidas de coherencia se basan generalmente en la desigualdad de Cauchy-Schwarz que afirma que

El | ⟨ X, y ⟩ {El |}^{2} \leq ⟨ X, X ⟩ \cdot ⟨ y, y ⟩

$|\langle x,y\rangle |^2 \leq \langle x,x \rangle\cdot\langle y,y\rangle$ con igualdad cuando

x = λ y

$x = \lambda y$ dónde

λ

$\lambda$ es constante En el contexto de coherencia, la igualdad es coherencia perfecta. Pero tu

γ^{2} (ω)

$\gamma^2(\omega)$ no es exactamente la razón de los dos lados de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

— Dilip Sarwate

Tenga en cuenta los operadores de expectativa en su definición de la coherencia. No puedes separar el

x

$x$ y

y

$y$ términos en la densidad espectral cruzada para cancelar con el denominador, ya que se toma el valor esperado de su producto.

— Jason R

Es verdad. Sin embargo, olvidé mencionar que estoy trabajando con procesos aleatorios estacionarios, por lo que las densidades espectrales y las funciones de correlación son pares de transformadas de Fourier. Y la transformación de Fourier de las funciones de correlación se puede escribir como la multiplicación de la transformación de Fourier de las funciones individuales (con una de las conjugadas), como se puede encontrar en Wikipedia

— Tojur

La cuestión es que para procesos aleatorios, es no cierto que

X (ω)

$X(\omega)$ y

Y (ω)

$Y(\omega)$ son las transformaciones de Fourier de los procesos (de hecho, la transformación de Fourier de un proceso aleatorio de la forma en que parece estar pensando no tiene ningún sentido, excepto como un proceso de valor complejo) y que la densidad espectral de potencia cruzada

S_{X, Y} (ω)

$S_{X,Y}(\omega)$ es igual

X (ω) Y (ω)

$X(\omega)Y(\omega)$ y la densidad espectral de potencia

S_{X} (ω)

$S_X(\omega)$ es

| X (ω) |^{2} = X (ω) X^{*} (ω)

$|X(\omega)|^2 = X(\omega)X^*(\omega)$ .

— Dilip Sarwate

No estoy seguro de entender su definición de "proceso aleatorio". En el procesamiento de señales, un proceso aleatorio estacionario "es una colección de registros de historial de tiempo que tienen propiedades estadísticas que son invariables a las traducciones de tiempo" (de 'procedimientos de medición y análisis de datos aleatorios'). De hecho, puede comprobar que este concepto se usa para indicar algunas propiedades en el siguiente enlace en.wikipedia.org/wiki/Spectral_density

— Tojur

Para cualquier fragmento individual (ventana) de datos, la coherencia será, como usted observó, 1. Para estimar adecuadamente la coherencia, debe promediar los espectros y los espectros cruzados para múltiples ventanas, y ENTONCES calcular la coherencia.

Los espectros automáticos XX e YY se pueden promediar de la manera convencional. Para el espectro cruzado XY, primero debe promediar los componentes real e imaginario antes de calcular XY = sqrt (XY [imag] ^ 2 + XY [real] ^ 2).

¿Eso ayuda? Un promedio de más de 8 ventanas generalmente produce estimaciones confiables.

— Juan
fuente

Sí, esa es la respuesta. Muchas gracias John

— Tojur

Hola John . Una pequeña pregunta: ¿Conoces el nombre de algún libro donde pueda leer más sobre esto? No he encontrado una buena para estudiar esto por mi cuenta. Thx

— Tojur