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MySQL introdujo hashes de contraseña más largos en (creo) la versión 4.1, y su servidor probablemente todavía los usa (verifique los hashes de contraseña de 16 bytes en su tabla de usuario de mysql). Las versiones más nuevas usan hashes de contraseña más largos. Su servidor admite ambos, pero su cliente (php) parece admitir solo los nuevos en esta versión (y en adelante).
Si es posible, use la solución desde el enlace en la primera línea y configure su contraseña nuevamente con el nuevo hash, pero tenga cuidado, si está utilizando otros clientes (antiguos) que dependen de contraseñas antiguas, la compatibilidad podría romperse. También intente buscar soporte de contraseña antigua para MySQL en PHP, pero no estoy seguro de eso.