Aplicación de condiciones de contorno de Dirichlet a la ecuación de Poisson con el método de volumen finito


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Me gustaría saber cómo se aplican normalmente las condiciones de Dirichlet cuando se utiliza el método de volumen finito en una cuadrícula no uniforme centrada en celdas,

Lado izquierdo de la cuadrícula centrada en la celda.

Mi implementación actual simplemente impone la condición de límite al fijar el valor de la primera celda,

ϕ1=solre(XL)

donde es la variable de solución y es el valor de la condición de límite de Dirichlet en las lhs del dominio ( NB ). Sin embargo, esto es incorrecto porque la condición límite debería fijar el valor de la cara de la celda, no el valor de la celda en sí. Lo que realmente debería aplicar es,g D ( x L ) x Lx 1 / 2ϕsolre(XL) XLX1/ /2

ϕL=solre(XL)

Por ejemplo, resolvamos la ecuación de Poisson,

0 0=(ϕX)X+ρ(X)

con condición inicial y condiciones límite,

ρ=-1solre(XL)=0 0solnorte(XR)=0 0

(donde es una condición límite de Neumann en el lado derecho).solnorte(XR)

Solución numérica de la ecuación de Poisson.

Observe cómo la solución numérica ha fijado el valor de la variable de celda al valor de la condición de contorno ( ) en el lado izquierdo. Esto tiene el efecto de desplazar toda la solución hacia arriba. El efecto puede minimizarse utilizando una gran cantidad de puntos de malla, pero esa no es una buena solución al problema.solre(XL)=0 0

Pregunta

¿De qué maneras se aplican las condiciones de contorno de Dirichlet cuando se usa el método de volumen finito? Supongo que necesito corregir el valor de interpolando o extrapolando usando (un punto fantasma) o modo que la línea recta que pasa por estos puntos tenga el valor deseado en . ¿Puede proporcionar alguna guía o un ejemplo de cómo hacer esto para una malla centrada en la celda no uniforme?ϕ 0 ϕ 2ϕ1ϕ0 0ϕ2XL


Actualizar

Aquí está mi intento de utilizar un enfoque de célula fantasma que sugirió, ¿parece razonable?

La ecuación para la celda es (donde F representa el flujo de ϕ ),Ω1Fϕ

F3/ /2-FL=ρ¯

Necesitamos escribir en términos de la condición límite usando una celda fantasma Ω 0 ,FLΩ0 0

FL=ϕ1-ϕ0 0h-[1]

Pero finalmente necesitamos eliminar el término de la ecuación. Para hacer esto, escribimos una segunda ecuación que es la interpolación lineal desde el centro de la celda Ω 0 al centro de la celda Ω 1 . Convenientemente, esta línea pasa a través de x L , así es como las condiciones de Dirichlet entran en la discreción (porque el valor en este punto es solo g D ( x L ) ),ϕ0 0Ω0 0Ω1XLsolre(XL)

solre(XL)=h12h-ϕ0 0+h0 02h-ϕ1[2]

Combinando las ecuaciones 1 y 2 podemos eliminar y encontrar una expresión para F L en términos de ϕ 1 y g D ( x L ) ,ϕ0 0FLϕ1solre(XL)

FL=1h-(ϕ1-1h1(2solreh--h1ϕ1))

Suponiendo que somos libres de elegir el volumen de la celda fantasma, podemos configurar para dar,h0 0h1

FL=-2solreh1+2ϕ1h-

Esto se puede simplificar aún más porque si las celdas y Ω 1 son del mismo volumen, entonces podemos configurar h -h 1 finalmente dando,Ω0 0Ω1h-h1

FL=2h1(ϕ1-solre)

Sin embargo, este enfoque ha recuperado la definición que es inestable. así que no estoy muy seguro de cómo proceder. ¿Interpreté tu consejo incorrectamente (@Jan)? Lo extraño es que parece funcionar, ver más abajo,

Ver abajo, funciona,

Cálculo actualizado, el nuevo enfoque coincide muy bien con el enfoque analítico.


Correcto, su derivación es correcta. Y realmente se parece a lo que he llamado (**) en mi respuesta. Y, por lo tanto, se ha demostrado que es estable. Agregaré un comentario en mi respuesta.
Jan

Además, como observación general, los resultados de estabilidad son típicamente condiciones suficientes. Es decir, si un esquema no cumple con las condiciones, en algunas situaciones, puede producir resultados confiables.
Jan

Respuestas:


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En el análisis de estabilidad de las discretizaciones de FVM para problemas elípticos con Dirichlet BC, una suposición central es que las celdas internas , donde se establece el PDE, no tienen intersección con el límite, es decir, si se ve como un conjunto en R n - 1 si su dominio Ω R n , véase, por ejemplo, el libro de [Grossmann & Roos, p. 92]

Ω¯yoΓre=0 0()
Rnorte-1ΩRnorte

Por lo tanto, si en su configuración, el enfoque es inestable, estonoestáen contradicción con los resultados de estabilidad conocidos. EDITAR: Usando una celda fantasma e interpolación lineal en ella, para una elección particular de volumen y distancia, se obtiene ( ) como flujo. Por lo tanto, ( )

(reϕreX)1/ /2=2h1(ϕ1-ϕ1/ /2)()
()() es de hecho un esquema estable.

Grossmann & Roos ha demostrado la estabilidad y la convergencia (de primer orden en la norma máxima discreta) para el problema de Poisson para cuadrículas, con celdas de límite distintas con sus "centros" en el límite real como se ilustra en mi dibujo para un caso 1D. ingrese la descripción de la imagen aquí

Aquí, el cociente diferencial en la interfaz se aproxima de manera directa.

Yo diría que las células fantasmas son el enfoque común, por dos razones.

  • Imitan la situación estable descrita en mi dibujo pero con una condición límite interpolada
  • Simplemente están unidos al límite físico. Por lo tanto, se puede utilizar una triangulación del dominio, lo que también es ventajoso, ya que a menudo se tienen también BC naturales que se imponen directamente en la interfaz [ Grossmann & Roos , p. 101].

ϕ0 0ϕ0 0ϕ1solre


Gracias Jan, eso es realmente interesante. Eso ciertamente imitaría mi experiencia con ciertos enfoques que son inestables. ¿Tengo razón, si uso un enfoque de celda fantasma no necesito cambiar la última celda para que el centro esté en el límite? También tengo un problema con el concepto de desplazamiento de la celda límite; ¿No implica que esa celda tiene un volumen cero?
boyfarrell

hΓ

hΓ0 0ϕ1ϕ0 0

¿Se puede eliminar la dependencia del valor de la célula fantasma con este enfoque? Supongo que no debe incluirse en las ecuaciones, sino que solo debe usarse una herramienta para escribir las condiciones de contorno. Con respecto a la celda límite "desplazada". Parece que ese punto usa diferencia finita en lugar del método de volumen finito. ¿Sería eso exacto?
boyfarrell

1
¡Vale, entiendo! Gracias. Hay un error tipográfico. en el segundo párrafo "Por lo tanto, si en su configuración, el enfoque [eqn] es inestable, esto no es una contradicción con los resultados de estabilidad conocidos". El "no" debe estar "en" . ¡Esto cambia el significado de la oración para que signifique lo contrario de lo que quieres (creo)!
boyfarrell

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ϕ1-ϕ2-ϕ1X2-X1(X1-X0 0)=0 0X0 0Xyoϕyoϕ1ϕ2ϕ1

Lo que está encontrando aquí es por qué los volúmenes finitos no se usan con frecuencia para las ecuaciones elípticas para las cuales se presentan condiciones de Dirichlet. Se usan para leyes de conservación donde las condiciones más naturales se expresan en términos de flujos.


3

re2ϕreX2=F
(reϕreX)3/ /2-(reϕreX)1/ /2=X1/ /2X3/ /2FreX
(reϕreX)3/ /2=ϕ2-ϕ1h+

(reϕ/ /reX)1/ /2ϕ1/ /2X1/ /2X1X2h

(reϕreX)1/ /2=1h(-13ϕ2+3ϕ1-83ϕ1/ /2)
(reϕreX)1/ /2=2h1(ϕ1-ϕ1/ /2)
De esta manera, la condición de contorno Dirichlet solamente se aplica "débilmente" (es decir a través de un flujo). Como ya comentó Wolfgang, esta es una de las razones por las cuales los métodos de volumen finito no se usan tanto para problemas elípticos como los métodos de elementos finitos.

Por supuesto, una cosa que también debe verificarse es la estabilidad de su discretización con la aproximación de segundo orden en el límite. Fuera de mi cabeza, no sé si será estable combinado con una aproximación centrada de segundo orden en el interior. Un análisis de estabilidad de la matriz le dirá con seguridad. (Estoy prácticamente seguro de que la aproximación de primer orden en el límite será estable).

Mencionas la posibilidad de usar puntos fantasma. Esto lleva al problema de que necesita extrapolar desde el interior al punto fantasma y usar el bc en el proceso. Sospecho, pero no lo "he probado", que al menos algunos tratamientos de puntos fantasma son equivalentes a usar el tipo de enfoque que he descrito anteriormente.

Espero que esto ayude un poco.


Hola brian No pensé que fuera posible aplicar condiciones de contorno de Dirichlet usando la forma de flujo (es decir, débilmente). De hecho, hice esa pregunta hace unos meses, scicomp.stackexchange.com/questions/7777/ ... Traté de implementar algo como esto en ese momento, pero, por alguna razón, la implementación fue inestable y siempre falló. ¿Conoces una referencia en la que las condiciones de Dirichlet se aplican a la ecuación de Poisson, me interesa saber qué es estándar ? ¿Quizás esto no se hace para ecuaciones elípticas?
boyfarrell

No conozco un estándar, pero no puedo imaginar que todas esas implementaciones sean inestables. ¿Intentaste el análisis matricial? Debería ser muy simple de llevar a cabo en este caso. La gente resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes con tratamientos de puntos fantasmas y tratamientos como el anterior. (Por supuesto, los efectos viscosos no dominan en tal medida que pueda considerar la ecuación de Poisson como un buen modelo). Quizás estas referencias ayuden: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/ … Y nas.nasa.gov/assets/pdf/techreports/1997/nas-97-011.pdf
Brian Zatapatique

Hola brian No, no probé el análisis matricial. Para ser honesto, no estoy muy seguro de cómo hacerlo. ¡Tendré tiempo la próxima semana para volver a examinar este problema para poder publicar una nueva pregunta!
boyfarrell

También entiendo que la extrapolación del punto fantasma (cuadrático) termina siendo equivalente a la clásica discretización por diferencia finita de Shortley-Weller para condiciones de contorno de Dirichlet irregulares (curvas), por ejemplo, como se describe en la página 74 de la Solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales de Morton y Meyers (2da. edición). (La versión de extrapolación lineal es equivalente al método más simple de Gibou et al. Sciencedirect.com/science/article/pii/S0021999101969773 ) Además: tanto los extrapolantes lineales como los cuadráticos proporcionan soluciones precisas de segundo orden, pero solo gradientes lineales de primer orden.
Batty
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