Me gustaría saber cómo se aplican normalmente las condiciones de Dirichlet cuando se utiliza el método de volumen finito en una cuadrícula no uniforme centrada en celdas,
Mi implementación actual simplemente impone la condición de límite al fijar el valor de la primera celda,
donde es la variable de solución y es el valor de la condición de límite de Dirichlet en las lhs del dominio ( NB ). Sin embargo, esto es incorrecto porque la condición límite debería fijar el valor de la cara de la celda, no el valor de la celda en sí. Lo que realmente debería aplicar es,g D ( x L ) x L ≡ x 1 / 2
Por ejemplo, resolvamos la ecuación de Poisson,
con condición inicial y condiciones límite,
(donde es una condición límite de Neumann en el lado derecho).
Observe cómo la solución numérica ha fijado el valor de la variable de celda al valor de la condición de contorno ( ) en el lado izquierdo. Esto tiene el efecto de desplazar toda la solución hacia arriba. El efecto puede minimizarse utilizando una gran cantidad de puntos de malla, pero esa no es una buena solución al problema.
Pregunta
¿De qué maneras se aplican las condiciones de contorno de Dirichlet cuando se usa el método de volumen finito? Supongo que necesito corregir el valor de interpolando o extrapolando usando (un punto fantasma) o modo que la línea recta que pasa por estos puntos tenga el valor deseado en . ¿Puede proporcionar alguna guía o un ejemplo de cómo hacer esto para una malla centrada en la celda no uniforme?ϕ 0 ϕ 2
Actualizar
Aquí está mi intento de utilizar un enfoque de célula fantasma que sugirió, ¿parece razonable?
La ecuación para la celda es (donde F representa el flujo de ϕ ),
Necesitamos escribir en términos de la condición límite usando una celda fantasma Ω 0 ,
Pero finalmente necesitamos eliminar el término de la ecuación. Para hacer esto, escribimos una segunda ecuación que es la interpolación lineal desde el centro de la celda Ω 0 al centro de la celda Ω 1 . Convenientemente, esta línea pasa a través de x L , así es como las condiciones de Dirichlet entran en la discreción (porque el valor en este punto es solo g D ( x L ) ),
Combinando las ecuaciones 1 y 2 podemos eliminar y encontrar una expresión para F L en términos de ϕ 1 y g D ( x L ) ,
Suponiendo que somos libres de elegir el volumen de la celda fantasma, podemos configurar para dar,
Esto se puede simplificar aún más porque si las celdas y Ω 1 son del mismo volumen, entonces podemos configurar h - → h 1 finalmente dando,
Sin embargo, este enfoque ha recuperado la definición que es inestable. así que no estoy muy seguro de cómo proceder. ¿Interpreté tu consejo incorrectamente (@Jan)? Lo extraño es que parece funcionar, ver más abajo,
Ver abajo, funciona,