Soy un principiante con FE. Mi aplicación es la fijación de precios de derivados financieros donde el espacio es de cinco dimensiones. Entonces, agregando tiempo, el problema tiene seis dimensiones.
Traté de mirar alrededor (Fenics, escript, deal.II, ...), pero entiendo que esos programas están limitados a 3 + 1 (espacio 3d + tiempo 1d). ¿Es esto correcto?
Mi lenguaje objetivo es Python o C ++.
Descripción de mi problema
Me gustaría fijar el precio de un producto de inversión donde, cada mes, el inversionista tiene la libertad de reinvertir o no. Me gustaría hacerlo con la volatilidad estocástica, la tasa de interés estocástica y la mortalidad estocástica.
Los PDE estocásticos se ven así
Donde es una constante dependiente del tiempo asociada al precio de la acción , y B ^ S_t μ S t SB S t
reStreσtrertreqt= μStret+ σt--√resiSt= μσtret + νσtresiσt= μrtret + νrtresirt= μqtret + νqtresiqt(valores)(volatilidad)(tasa de interés)(mortalidad)
μStSsiStLevy es un proceso independiente que crea ruido en el precio de las acciones . De manera similar para las otras cantidades:
\ nu ^ \ sigma_t es una cantidad dependiente del tiempo asociada a la volatilidad
\ sigma .
Deje
C_ \ tau denota las inversiones admisibles en el momento
\ tau . El problema de control estocástico se ve como
V_ \ tau = max \ left \ {c \ en C_ \ tau: P (\ text {death}) E (r_ \ tau f (S _ {\ tau + 1})) + P (vivo ) E (r_ \ tau V _ {\ tau + 1}) \ right \}.
Los PDE anteriores son continuos, pero el valor del producto
V_ \ tau se resuelve solo en tiempos predefinidos
\ tau , digamos cada mes.
ν σ t σ C τ τ V τ = m a x { c ∈ C τ : P ( muerte ) E ( r τ f ( S τ + 1 ) ) + P ( a l i v e ) E ( r τ V τ + 1 ) } . V τ τSνσtσCττVτ= m a x { c ∈ Cτ: P( muerte ) E( rτF( Sτ+ 1) ) + P( a l i v e ) E( rτVτ+ 1) } .
Vττ
Supongo que Montecarlo siempre puede hacer fuerza bruta a mi problema, pero es muy lento.
Forma determinista de las PDEs estocásticas
Para esta parte, suponga que el valor de la opción
se define en el tiempo natural , no the -times, con la inversión en el tiempo .
Defina el operador diferencial
donde la constante dependiente del tiempot τ c t t L t
V: ( t , St, σt, rt, qt, ct) ↦ ( t , Vt) ,
tτCttLtLStLrtLσtLqt= ∂r , S+ ∂r , σ+ ∂σ, S= σt∂S+ rt∂S, S= ∂r+ ∂r , r= ∂σ+ ∂σ, σ= ∂q+ ∂q, q
{ μSt, ... }son ignorados El PDE determinista es entonces
que puede adaptarse al problema de control óptimo en los times .
∂tVt+ ( Lt+ LSt+ Lσt+ Lrt+ Lqt) Vt= 0 ,
τ