¿Cuáles son las diferencias conceptuales entre el elemento finito y el método de volumen finito?

Hay una diferencia obvia entre la diferencia finita y el método de volumen finito (pasando de la definición puntual de las ecuaciones a los promedios integrales sobre las celdas). Pero encuentro que FEM y FVM son muy similares; ambos usan forma integral y promedio sobre las celdas.

¿Qué está haciendo el método FEM que no es el FVM? He leído un poco de información sobre el FEM. Entiendo que las ecuaciones están escritas en forma débil, esto le da al método un punto de referencia ligeramente diferente que el FVM. Sin embargo, no entiendo a nivel conceptual cuáles son las diferencias. ¿FEM hace alguna suposición con respecto a cómo lo desconocido varía dentro de la célula, no se puede hacer esto también con FVM?

Principalmente vengo de la perspectiva 1D, ¿quizás FEM tiene ventajas con más de una dimensión?

No he encontrado mucha información disponible sobre este tema en la red. Wikipedia tiene una sección sobre cómo el FEM es diferente del método de diferencia finita, pero eso es todo, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Elemento finito: integrales volumétricas, orden polinómico interno

Los métodos clásicos de elementos finitos suponen espacios de aproximación continuos o débilmente continuos y piden que se satisfagan integrales volumétricas de la forma débil. El orden de precisión aumenta al aumentar el orden de aproximación dentro de los elementos. Los métodos no son exactamente conservadores, por lo que a menudo luchan con la estabilidad para procesos discontinuos.

Volumen finito: integrales de superficie, flujos de datos discontinuos, orden de reconstrucción

Los métodos de volumen finito usan espacios de aproximación constantes por partes y piden integrales contra las funciones de prueba constantes por partes para ser satisfechos. Esto produce declaraciones de conservación exactas. La integral de volumen se convierte en una integral de superficie y toda la física se especifica en términos de flujos en esas integrales de superficie. Para problemas hiperbólicos de primer orden, esta es una solución de Riemann. Los flujos de segundo orden / elípticos son más sutiles. El orden de precisión se incrementa al usar vecinos para reconstruir (conservadoramente) representaciones de orden superior del estado dentro de los elementos (reconstrucción / limitación de pendientes) o al reconstruir flujos (limitación de flujos). El proceso de reconstrucción generalmente no es lineal para controlar las oscilaciones alrededor de las características discontinuas de la solución, ver métodos de disminución total de la variación (TVD) y esencialmente no oscilatorio (ENO / WENO). Es necesaria una discretización no lineal para obtener simultáneamente una precisión superior al primer orden en regiones suaves y una variación total limitada entre discontinuidades, verEl teorema de Godunov .

Comentarios

Tanto FE como FV son fáciles de definir con precisión de hasta segundo orden en redes no estructuradas. FE es más fácil de ir más allá del segundo orden en cuadrículas no estructuradas. FV maneja mallas no conformes de manera más fácil y robusta.

Combinando FE y FV

Los métodos se pueden casar de múltiples maneras. Los métodos discontinuos de Galerkin son métodos de elementos finitos que utilizan funciones básicas discontinuas, adquiriendo así solucionadores de Riemann y más robustez para procesos discontinuos (especialmente hiperbólicos). Los métodos de DG pueden usarse con limitadores no lineales (generalmente con cierta reducción en la precisión), pero satisfacen una desigualdad de entropía a nivel de celda sin limitación y, por lo tanto, pueden usarse sin limitación para algunos problemas donde otros esquemas requieren limitadores. (Esto es especialmente útil para la optimización basada en adjuntos, ya que hace que los adjuntos discretos sean más representativos de las ecuaciones contiguas continuas). , mira esta respuesta$P_N P_M$

Las diferencias conceptuales de FEM y FVM son tan sutiles como las diferencias entre un árbol y un pino.

Si compara un cierto esquema de FEM con la discretización de FVM aplicada a un problema particular, puede hablar de diferencias fundamentales que se hacen evidentes en diferentes enfoques de implementación y diferentes propiedades de aproximación (como @Jed Brown ha expuesto en su respuesta).

Pero, en general, diría que FVM es un caso especial de FEM, que utiliza una cuadrícula de celdas y funciones de prueba constantes por partes. Esta relación también se utiliza para el análisis de convergencia de la FVM, como se puede encontrar en el libro de Grossmann, Roos & Stynes: Tratamiento numérico de ecuaciones diferenciales parciales .

La diferencia básica es simplemente el significado que debe atribuirse a los resultados. FDM predice valores de puntos de cualquier aspecto de la solución. La interpolación entre estos valores a menudo se deja a la imaginación del usuario. FVM predice promedios de variables conservadas dentro de volúmenes de control específicos. Por lo tanto, predice las variables conservadas integradas y se puede demostrar que convergen en soluciones débiles (discontinuas). FEM proporciona un conjunto de valores discretos a partir de los cuales se puede deducir una solución aproximada inequívocamente en todas partes invocando un conjunto de funciones básicas. Por lo general, pero no necesariamente, las variables involucradas son conservadoras. Es posible tener métodos de diferencia finita que sean conservadores en cierto sentido, de acuerdo con una regla de cuadratura particular.

Estos son asuntos de definición. Hay muchas variaciones de los tres métodos. No todos los métodos son limpios de un tipo, y los detalles varían entre las áreas de aplicación. Los investigadores que inventan un nuevo método emplean esas herramientas que ayudarán a proporcionar las propiedades que están buscando. Como parece haber encontrado, es difícil encontrar una discusión autorizada y sería difícil para mí proporcionar una. El mejor consejo que puedo dar es continuar leyendo, sin esperar una respuesta totalmente clara, pero dando crédito a las cosas que tienen sentido para usted.