Confusión sobre Quantum Monte Carlo

Mi pregunta es sobre la extracción de observables de los métodos QMC, como se describe en esta referencia .

Entiendo la derivación formal de varios métodos QMC como Path Integral Monte Carlo. Sin embargo, al final del día todavía estoy confundido sobre cómo usar estas técnicas de manera efectiva.

La idea básica de la derivación de los métodos Quantum MC es discretizar, mediante la aproximación Trotter, un operador que puede ser la matriz de densidad o el operador de evolución temporal de un sistema cuántico. Luego obtenemos un sistema clásico con una dimensión adicional que puede tratarse con métodos MC.

Teniendo en cuenta que podemos interpretar en el operador cuántico , tanto como la temperatura inversa y un tiempo imaginario, el objetivo de estos algoritmos debe ser para calcular una aproximación de este operador. De hecho, si midiéramos directamente cantidades de las diversas configuraciones muestreadas a lo largo de una simulación, en el caso de "temperatura inversa" tendríamos muestras que respetan una densidad de probabilidad basada en , donde $\beta$ $e^{−\beta\hat{H}}$ $\beta/M$ $M$ es el número de pasos discretos introducidos en la descomposición de Trotter. En cambio, en el caso del "tiempo imaginario", obtendríamos muestras en varios pasos de tiempo discretos, obteniendo así promedios a lo largo del tiempo también. Asimismo, no obtendríamos cantidades como en un momento dado , con poco de operador observable. $\langle\psi_t|\hat{A}|\psi_t\rangle$ $t$ $\hat{A}$

Sin embargo, en mi opinión, las cantidades que tomamos de muestra directamente de este tipo de simulaciones (tomadas de (5.34) del documento, página 35):

\bar{O} \equiv ⟨ \hat{O} (X) ⟩ \equiv \frac{1}{N!} \sum_{P} \int O (X) π (X, P) d X

$\bar{O} \equiv \langle \hat{O}(X) \rangle \equiv \frac{1}{N!} \sum_P \int O(X) \pi(X,P) dX$

$M$

\frac{E_{t h}}{N} = ⟨ \frac{d}{2 τ} - \frac{m}{2 (ℏ τ)^{2} M N} \sum_{j = 1}^{M} (R_{j} - R_{j + 1})^{2} + \frac{1}{M N} \sum_{j = 1}^{M} V (R_{j}) ⟩

$\frac{E_{th}}{N}= \left\langle \frac{d}{2 \tau} - \frac{m}{2 (\hbar \tau)^2MN } \sum_{j=1}^{M} (\mathbf{R}_j -\mathbf{R}_{j+1})^2 + \frac{1}{MN} \sum_{j=1}^{M} V(\mathbf{R}_j) \right\rangle$

¿Tengo razón en que se requiere una serie de simulaciones QMC para extraer información útil sobre un observable dado?

monte-carlo quantum-mechanics

— Pippo
fuente

Siempre que te entienda correctamente, me parece que los dos enfoques son equivalentes si el sistema es ergódico.

— Daniel Shapero

@DanielShapero ¿Qué quieres decir exactamente con ser equivalente?

— Pippo

Acabo de buscar en Google el camino integral de Monte Carlo y en realidad deberías ignorar lo que dije, es irrelevante.

— Daniel Shapero

No creo que haya ninguna duda con respecto a Quantum Monte Carlo; es muy bien entendida y respaldada teóricamente rigurosamente ...

— Nick

β / M

$\beta/M$

β

$\beta$

M

$M$

M

$M$

Respuestas:

Hay mucha confusión en su pregunta. Lo más importante para mí es que extrañas ese QMC "ingenuo", que es el cálculo de integrales de Montecarlo en algún método variacional y difusión. Montecarlo son métodos diferentes con diferentes argumentos y derivaciones.

Sin embargo, el punto principal es sobre el tiempo imaginario. En difusión, el tiempo imaginario de Montecarlo es un truco para convertir la ecuación de Schroedinger independiente del tiempo en una ecuación similar a la difusión dependiente del tiempo, cuya solución en el límite de "tiempo" infinito tiende a una solución de la ecuación de Schroedinger original. Eso es. El tiempo en DQMC no es real.

Relativamente buena pero simple explicación se da en Reviews of Modern Physics, 73, 33 (2001) .

PD: Por cierto, ¿qué quieres decir con "aproximación de Trotter" en tu pregunta?

— Misha
fuente

No creo que haya esta confusión, es mi pregunta, ya que nunca me referí a Diffusion MC, cuya idea es bastante diferente, aunque también parte de una discretización del operador de densidad / evolución del tiempo (pero termina con una interpretación diferente de eso).

— Pippo

e^{- β \hat{H}}

$e^{−\beta\hat{H}}$

e^{- τ \hat{H}} \cdot e^{- τ \hat{H}} \cdot . . . \cdot e^{- τ \hat{H}}

$e^{−\tau\hat{H}}\cdot e^{−\tau\hat{H}}\cdot ... \cdot e^{−\tau\hat{H}}$

τ

$\tau$

β / M

$\beta/M$

Por cierto, al final resolví mi problema preguntando directamente al profesor al final del examen (que salió muy bien: D), y sí, no podemos vincular directamente las cantidades simuladas con las cantidades cuánticas deseadas.

— Pippo

@Pippo Entonces, lo que realmente quisiste decir fue Path-Integral Monte Carlo. Todavía no te veo mencionar esto en tu pregunta.

— Misha

Segunda línea: "Entiendo la derivación formal de varios métodos QMC como Path Integral Monte Carlo". ;)

— Pippo

Tiene razón en que las personas usan técnicas de Monte Carlo para calcular promedios estadísticos (en oposición a la información resuelta en el tiempo) todo el tiempo. No es necesariamente cierto que esto sea lo que debe calcularse: depende del tipo de información que desee. Quizás tenga un forzamiento externo dependiente del tiempo, por ejemplo, y quiera ver cómo evoluciona el sistema en respuesta.

— Dan
fuente

Gracias por responder. Trataré de dar más detalles de lo que estoy preguntando. Para hacerme más comprensible, me referiré a este trabajo que encontré en Internet: itp.phys.ethz.ch/education/fs12/cqp/chapter05.pdf

— Pippo

La idea básica de la derivación de los métodos Quantum MC es discretizar, mediante la aproximación de Trotter, un operador que puede ser la matriz de densidad o el operador de evolución temporal de un sistema cuántico; De esta forma, obtenemos un sistema clásico con una dimensión adicional que puede tratarse con métodos MC.

— Pippo

M

$M$

Aquí viene mi pregunta: ¿estoy en lo cierto con mi interpretación de los métodos Quantum Monte Carlo?

— Pippo

También editaré mi pregunta original.

— Pippo