¿Puedo resolver este PDE independiente del tiempo agregando una derivada del tiempo y marchando en el tiempo?

Quiero resolver este PDE:

Actualmente tengo un código que generará automáticamente soluciones pde para un pde muy similar que incluye una derivada de tiempo (parcial d / parcial t) utilizando un método ADI.

Me pregunto si hay una manera de aproximar el pde adjunto con un pde que incluye una derivada de tiempo.

Sé que hay enfoques para pdes unidimensionales. Por ejemplo, en el pde adjunto, si elimina todas las derivadas Y, el pde se puede aproximar agregando la derivada del tiempo y multiplicando el término de difusión por un gran número, utilizando pasos implícitos y 1 paso.

Cualquier ayuda sería apreciada, gracias, Rob

pde

— phubaba
fuente

¿Cuál es el dominio en términos de Y y V? ¿Sabes si la PDE es hiperbólica, parabólica o elíptica?

— David Ketcheson

es un pde parabólico, el dominio de V es 0 al infinito, el dominio de Y es 0 al infinito. Esta es una variación del heston pde popular en la literatura financiera.

— phubaba

¿Dónde están las condiciones de contorno en

Y = 0

$Y=0$

Y = \infty

$Y=\infty$

— Hui Zhang

La ecuación es demasiado compleja para que sepa si la respuesta es sí o no. Pero en general, esto es lo que debe tener en cuenta: suponga que tiene alguna ecuación (algebraica, diferencial o diferencial parcial) y se pregunta si puede encontrar considerando el problema $f(u)=0$ $u$ $\frac{dv(t)}{dt}+f(v(t))=0$ $u = \lim_{t\rightarrow \infty} v(t)$

Es cierto que es una solución estacionaria de la ecuación dependiente del tiempo. $v_1(t)=u$
Pero no está claro si es una solución estable . Esto es importante porque si comienza con , entonces solo si es una solución estable de la ecuación. En otras palabras, sin la estabilidad de , no puede esperar que el problema dependiente del pseudo-tiempo converja en la solución del problema original independiente del tiempo. $v_2(t) \neq u$ $v_2(t) \rightarrow v_1(t)=u$ $v_1(t)$ $v_1(t)$
Esa estabilidad no está garantizada automáticamente es fácil de ver. Considere, por ejemplo, la ecuación . Puede encontrar la solución a esto resolviendo la ecuación de calor, . Pero si hubiera comenzado con (que, por supuesto, tiene exactamente la misma solución), no habría podido encontrar la solución resolviendo ya que esta ecuación en general no tiene una solución. $f(u)=-\Delta u-h=0$ $\frac{dv(t)}{dt}-\Delta v(t)=h$ $\tilde f(\tilde u)=\Delta \tilde u+h=0$ $\frac{d\tilde v(t)}{dt}+\Delta \tilde v(t)=-h$

— Wolfgang Bangerth
fuente

Lo tengo, así que dependiendo de decir los coeficientes en mi pde, a medida que aumenta el tiempo, y dependiendo de las condiciones de mi terminal, no llegaré a la solución correcta. ¿Podría entonces probar la estabilidad del pde prescribiendo algunas condiciones terminales diferentes y ver si logro estabilidad o no?

— phubaba

¿Te refieres a las condiciones iniciales cuando hablas de condiciones terminales ? Si camina hacia adelante, puede prescribir solo las condiciones iniciales y observar los valores terminales.

— Wolfgang Bangerth