¿Cuál es la diferencia entre FEM implícito y FEM explícito?

¿Cuál es la diferencia entre FEM explícito y FEM implícito exactamente? Según la publicación aquí , parece que la única diferencia es si se usa la integración de tiempo implícita o explícita.

Como recuerdo de un libro que leí, el FEM implícito es donde la masa no está agrupada en los nodos.

¿Cuáles son las definiciones exactas de FEM explícito e implícito?

El método FEM para problemas transitorios generalmente usa el método de líneas, es decir, la discretización espacial se desacopla de la discretización de tiempo: donde es el vector de cantidades nodales, asumidas como funciones desconocidas del tiempo. Bajo este supuesto, los PDE de espacio-tiempo en se reducen (discretizan) a ODE en solo usando la maquinaria FEM habitual para problemas estáticos.U ( t ) ( x , t )

$$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{U}(t)$$(x,t)$$t$

Como ya se señaló en otras respuestas, hablamos de FEM explícito o implícito con referencia al esquema de integración temporal de estas EDO.

Con referencia a problemas de mecánica continua (sin amortiguamiento), terminamos con un sistema de EDO como donde y son las fuerzas equivalentes nodales internas y externas. Para problemas lineales .F i F e F i ( t ) =

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}$$\mathbf{F}_\text{e}$$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

A riesgo de simplificar en exceso, supongamos que en un esquema explícito solo necesita resolver que es trivial si la matriz de masa está agrupada. Por el contrario, en los métodos implícitos debe resolver las ecuaciones (no) lineales .$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

Para responder completamente a su pregunta: explícito / implícito se refiere a la solución del sistema ODE y no a la naturaleza de la matriz de masas. Por supuesto, toda implementación razonable de un esquema explícito requiere que la matriz de masa se agrupe; de ​​lo contrario, las ventajas del método se pierden en la solución para . Por el contrario, para esquemas implícitos, puede tener matrices de masas agrupadas y consistentes.$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

Sí, es la integración del tiempo, pero también significa que:

1. Debe resolver un sistema lineal del tipo Ax = b en el esquema implícito donde, como en el esquema explícito, no lo hace, ya que la matriz de masa agrupada solo tiene entradas diagonales, por lo que inv (M) es trivial.

2. Su paso de tiempo en el esquema explícito está limitado por los criterios de estabilidad CFL. Los esquemas implícitos son incondicionalmente estables (aunque en la práctica aún necesita un paso de tiempo razonable para la precisión)

Por lo general, los problemas en los que los efectos de inercia son importantes (p. Ej., Propagación de ondas) se resuelven mediante esquemas explícitos en los que los problemas cuasiestáticos suelen utilizar un esquema implícito. Sin embargo, hay excepciones.

Los términos "explícito" e "implícito" surgen en la discretización del tiempo, y estos términos ya se utilizan en la literatura sobre ecuaciones diferenciales ordinarias (es decir, no son específicos del método de elementos finitos). Merecería la pena echar un vistazo a un libro que discute la solución numérica de las EDO, por ejemplo, Hairer & Wanner.