Limitar el error relativo de derivada dado el error relativo de la función

Supongamos que una función puede calcularse de tal manera que el encuadernado por el error relativo es es decir, donde y son, respectivamente, el valor calculado y exacta yR f - ( x ) = f ( x ) ( 1 + r ) f - f f | r | ≤ $f$$R$$f^-(x) = f(x)(1+r)$$f^-$$f$$f$$|r| \leq R$

Quiero vincular el error relativo de las siguientes aproximaciones derivadas en términos de y para una generalR $h$$R$$f$

$$\begin{align*} f^{'}(x) &\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}\\ f^{''}(x)&\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} \end{align*}$$

En Ralston y Rabinowitz los límites son $\frac{R}{h}$ y $\frac{4R}{h^2}$ respectivamente. Pero esto no se ha probado y se ha mencionado de pasada como parte de una explicación sobre la Extrapolación de Richardson.

¿Alguna idea sobre su prueba?

Este teorema ha sido mal interpretado por el autor de la pregunta o hay un error en el libro de referencia. Considere el siguiente ejemplo de contador:

h = 0.01 R =

$$f(x) = 100+x$$ $$h=0.01$$ $$R = 0.01$$

En el error absoluto en cada evaluación de función es , entonces tenemos En el peor de los casos, los dos términos de error tienen el mismo signo y no se cancelan. Por lo tanto, el error relativo de la aproximación derivada puede ser tanto como , que es mucho mayor que .100 ∗ 0.01 = 1 f ′ - ( 0 ) = f - ( h ) - f - ( - h $x=0$$100*0.01=1$

$$f'^-(0) = \frac{f^-(h) - f^- (-h)}{2h} = \frac{(100+0.01)\pm 1 - ((100-0.01) \pm 1)}{0.02}$$ 100R/h= $$\implies f'^-(0) = \frac{0.02}{0.02} \pm \frac{1}{0.02}\pm \frac{1}{0.02}$$ $100$$R/h = 1$

Por lo que puedo decir, no hay límite en el error relativo para una general, ya que al elegir una función de la forma , el error relativo en la aproximación derivada siempre se puede aumentar simplemente aumentando .f ( x ) = n + x $f$$f(x) = n+x$$n$

Por otro lado, podemos calcular un límite dependiente de . El límite en el error absoluto para y suficientemente pequeñas es: Prueba: donde Taylor expandimos alrededor de y descuidamos los términos de orden o o más altos, ya que tanto como son pequeños. De manera similar Por lo tanto, h R f ′ - ( x ) = f ( x + h ) - f ( x - h $f$$h$$R$ f-(x+h)=(f(x)+hf′(x))(1±R

$$f'^-(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} \pm \frac{f(x)R}{h}$$ $$f^-(x+h) = (f(x)+hf'(x))(1 \pm R)$$ $$\implies f^-(x+h) =f(x)+hf'(x)\pm Rf(x)$$ $f$$x$$hR$$h^2$$h$$R$ $$f^-(x-h) = f(x) - hf'(x) \pm Rf(x)$$ $$f'^-(x) = \frac{2hf'(x) \pm Rf(x) \pm Rf(x)}{2h}$$ $$\implies f'^-(x) =f'(x) \pm \frac{Rf(x)}{h}$$ donde nuevamente consideramos el peor de los casos, en el que los errores se suman.

Por lo tanto, el límite en el error relativo depende de y se puede expresar como $f(x)$

$$f'^-(x) = f'(x)\left(1\pm\frac{Rf(x)}{hf'(x)}\right)$$

Del mismo modo tenemos

$$f''^-(x) = f''(x)\left(1 \pm \frac{4Rf(x)}{h^2f''(x)}\right)$$

Para responder a su pregunta directa (y no atender el error de truncamiento del comentario de Brian Borchers):

Según la definición que tiene para , su error relativo , y su definición no lo dice explícitamente, pero no es constante, por lo que el error relativo enis .| ( f - - f ) / f | ≤ R r | f - ( x + h ) - f - ( x - h ) | ≤ 2 $f^-$$|(f^--f)/f|\leq R$$r$$|f^-(x+h)-f^-(x-h)|$$\leq 2R$

Esto lleva directamente a los errores relativos para que sea y de manera similar para sea . R/h$f^{'-}$$R/h$ 4R/h$f^{''-}$$4R/h^2$