¿Cómo discretizar la ecuación de advección usando el método de Crank-Nicolson?

La ecuación de advección necesita ser discretizada para ser utilizada para el método de Crank-Nicolson. ¿Alguien puede mostrarme cómo hacer eso?

Comenzando con la ecuación de advección es de forma conservadora,

$$\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\partial (\boldsymbol{v} u)}{\partial x} + s(x,t)$$

El método de Crank-Nicolson consiste en una diferencia centrada promediada en el tiempo.

$$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = -\boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + s(x,t)$$

Con respecto a la notación, los subíndices son para puntos en el espacio, y los superíndices son para puntos en el tiempo.

Los puntos en están en el futuro: son incógnitas. Ahora tenemos que reorganizar la ecuación anterior para que todos los conocimientos estén en la derecha y las incógnitas estén en la derecha.$n+1$

Haciendo la sustitución,

$$r = \frac{\boldsymbol{v}}{2}\frac{\Delta t}{\Delta x}$$

da,

$$-\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} + \beta r\phi_{j+1}^{n+1} = (1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} - (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$$

Esta es la ecuación de advección discretizada utilizando el método de Crank-Nicolson. Puedes escribirlo como una ecuación matricial,

$$\begin{pmatrix} 1 & \beta r & & & 0 \\ -\beta r & 1 & \beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -\beta r & 1 & \beta r \\ 0 & & & -\beta r & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1^{n+1} \\ u_2^{n+1} \\ \vdots \\ u_{J-1}^{n+1} \\ u_{J}^{n+1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -(1 - \beta)r & & & 0 \\ (1 - \beta)r & 1 & -(1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & (1 - \beta)r & 1 & -(1 - \beta)r \\ 0 & & &(1 - \beta)r & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1^{n} \\ u_2^{n} \\ \vdots \\ u_{J-1}^{n} \\ u_{J}^{n} \\ \end{pmatrix}$$ Configurar le dará una integración trapezoidal a tiempo, por lo que para Crank-Nicolson esto es lo que desea.$\beta=1/2$

Algunas palabras de advertencia. Esta es la solución básica que deseaba, pero deberá incluir algún tipo de condición límite para un problema bien planteado. Además, Crank-Nicolson no es necesariamente el mejor método para la ecuación de advección. Es de segundo orden preciso e incondicionalmente estable , lo cual es fantástico. Sin embargo, generará (como con todas las plantillas de diferencia centrada) una oscilación espuria si tiene soluciones puntuales muy agudas o condiciones iniciales.

Escribí el siguiente código para usted en Python, debería ayudarlo a comenzar. El código resuelve la ecuación de advección para una curva gaussiana inicial que se mueve hacia la derecha con velocidad constante.

from __future__ import division
from scipy.sparse import spdiags
from scipy.sparse.linalg import spsolve
import numpy as np
import pylab

def make_advection_matrices(z, r):
    """Return matrices A and M for advection equations"""
    ones = np.ones(len(z))
    A = spdiags( [-beta*r, ones, beta*r], (-1,0,1), len(z), len(z) )
    M = spdiags( [(1-beta) * r, ones, -(1-beta) * r], (-1,0,1), len(z), len(z) )
    return A.tocsr(), M.tocsr()

def plot_iteration(z, u, iteration):
    """Plot the solver progress"""
    pylab.plot(z, u, label="Iteration %d" % iteration)

# Set up basic constants
beta = 0.5
J = 200 # total number of mesh points
z = np.linspace(-10,10,J) # vertices
dz = abs(z[1]-z[0]) # space step
dt = 0.2    # time step
v = 2 * np.ones(len(z)) # velocity field (constant)
r = v / 2 * dt / dz

# Initial conditions (peak function)
gaussian = lambda z, height, position, hwhm: height * np.exp(-np.log(2) * ((z - position)/hwhm)**2)
u_init = gaussian(z, 1, -3, 2)

A, M = make_advection_matrices(z, r)
u = u_init
for i in range(10):
    u = spsolve(A, M * u)
    plot_iteration(z, u, i)

pylab.legend()
pylab.show()