¿Por qué es difícil resolver numéricamente la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo de múltiples electrones?

Parece que las personas usualmente usan la aproximación de un solo electrón activo (SAE) para tratar con un sistema de múltiples electrones, transformando el problema en un problema de un solo electrón. Por ejemplo, al resolver numéricamente el problema de un átomo de helio que interactúa con los campos láser, las personas generalmente incluyen el efecto electrón-electrón por un pseudo potencial y esencialmente resuelven el problema de un electrón. Entonces, ¿por qué es difícil incluso resolver numéricamente la ecuación de Schrödinger de múltiples electrones dependiente del tiempo? ¿Es mucho más difícil que el clásico problema del cuerpo n? He visto que hay un gran problema clásico de cuerpos resuelto numéricamente en astronomía incluso en tiempo real, por ejemplo, aquí simulamos en tiempo real una colisión de dos galaxias que involucra la interacción de 280000 partículas.$n$

Sí, es mucho más difícil hacerlo. Para el problema del cuerpo , todo lo que necesita calcular son las trayectorias x i ( t ) , i = 1 ... N, que son solo N funciones de una sola variable.$N$$\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$$N$

Por otro lado, incluso para un solo electrón, la solución de la ecuación de Schroedinger es una función , es decir, una función de cuatro variables. Para dos electrones, está buscando una función Ψ ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 3 , t ) que describa la función de onda como una función de las ubicaciones de los dos electrones más el tiempo. Eso son siete variables.$\Psi(x,y,z,t)$$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Ahora, si recuerdas cómo resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las ecuaciones de Newton para el problema del cuerpo , entonces necesitas mover cada ecuación hacia adelante por el tiempo pasando de tiempo t a t + Δ t y calcular la solución allí. Entonces, si divide su intervalo de tiempo [ 0 , T ] en M intervalos de longitud Δ t = T / M, entonces el esfuerzo para cada paso de tiempo será N 2 M utilizando una implementación ingenua de las interacciones de los N cuerpos (puede usar métodos para lograr$N$$t$$t+\Delta t$$[0,T]$$M$$\Delta t=T/M$$N^2M$$N$ esfuerzo, pero eso está fuera del punto).$N (\log N) M$

Por otro lado, para encontrar una función de 7 variables, suponga que subdivide el intervalo de tiempo en subintervalos como se indicó anteriormente, pero que también hace lo mismo para las 6 coordenadas espaciales. Luego hay un total de M 7 puntos de cuadrícula a considerar. Y en general, para un sistema cuántico de N cuerpos, tienes M 3 N + 1 .$M$$M^7$$N$$M^{3N+1}$

$N,M$$M^{3N+1}$$N^2M$$N$