Oscilaciones en problemas de reacción-difusión singularmente perturbados con elementos finitos

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Al discretizar con FEM y resolver un problema de reacción-difusión, por ejemplo, con (perturbación singular), la solución del problema discreto exhibirá típicamente capas oscilatorias cerca del límite. Con , y elementos finitos lineales, la solución parece

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

solución de un problema singularmente perturbado

Veo que hay mucha literatura sobre tales efectos no deseados cuando son causados por convección (p. Ej., Discretizaciones de viento), pero cuando se trata de reacción, las personas parecen centrarse en mallas refinadas (Shishkin, Bakhvalov).

¿Existen discretizaciones que eviten tales oscilaciones, es decir, que preserven la monotonicidad? ¿Qué más puede ser útil en este contexto?

— Nico Schlömer
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¿No es el esquema de diferencia central preservar la monotonicidad porque conduce a una matriz M ?

— Hui Zhang

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang Tienes razón, por supuesto, en el caso de diferencias finitas (y también en volúmenes finitos). Adaptaré la respuesta para indicar más claramente que estoy interesado en elementos finitos.

— Nico Schlömer

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Los métodos discontinuos de Galerkin se han vuelto bastante populares para tales problemas. ¿Has mirado el libro de Di Pietro y Ern?

— Christian Clason

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En el caso que muestra, la solución tiene una capa límite. Si no puede resolverlo porque su malla es demasiado gruesa, entonces, para todos los asuntos prácticos, la solución es discontinua al esquema numérico.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— Wolfgang Bangerth
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TL; DR: sus opciones son limitadas 1) ir adaptable a la fuerza bruta para una solución precisa y costosa 2) usar la difusión numérica para una solución menos precisa pero estable o (mi favorita) 3) aprovechar el hecho de que este es un problema de perturbación singular y resolver ¡Dos problemas internos / externos económicos y dejar que las asintóticas coincidentes hagan su magia!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ solución interna con facilidad, en este caso incluso analíticamente.

De hecho, esta es la técnica que fue (y sigue siendo) muy popular para resolver problemas de capa límite laminar en mecánica de fluidos en el pasado. De hecho, si observa las ecuaciones de Navier-Stokes, en números altos de Reynolds, se enfrenta efectivamente a un problema de perturbación singular que, como el que mencionó aquí, desarrolla una capa límite (hecho divertido: los términos "capa límite" en perturbación el análisis en realidad proviene del problema de la capa límite fluida que acabo de describir).

$u_0 = 1$

— GradGuy
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