¿Cómo derivar la formulación débil de una ecuación diferencial parcial para el método de elementos finitos?

He tomado una introducción básica al Método de Elementos Finitos, que no enfatizó una comprensión sofisticada de una 'formulación débil'. Entiendo que con el método de Galerkin, multiplicamos ambos lados del PDE (elíptico) por una función de prueba y luego lo integramos (por partes o por teorema de divergencia). A veces, he necesitado integrarme por partes dos veces antes de llegar a la formulación débil apropiada (basada en la respuesta al final del libro). Pero cuando trato de aplicar el mismo concepto a otros PDE (digamos, todavía son independientes del tiempo), parece que no puedo reconocer cuándo la formulación es apropiada para la discretización. ¿Hay alguna 'bandera roja' que pueda decirme que ESTE FORMULARIO se puede discretizar en un sistema lineal de ecuaciones?

Además, ¿cómo elijo un conjunto apropiado de funciones básicas?

Pregúntate lo siguiente:

Primero, ¿cómo afecta la integración por partes la capacidad de solución del problema y el espacio de soluciones?

En segundo lugar, ¿para qué espacio de funciones puede construir una serie de subespacios (las funciones ansatz) que puede implementar?

Consideremos el problema de Poisson para , digamos, en , con condiciones de frontera de Dirichlet homogéneas. Por integración, los lados izquierdo y derecho de la ecuación pueden considerarse como funciones limitadas en , por ejemplo, para tenemosf ∈ L 2 [ 0 , 1 ] L 2 ϕ ∈ L $u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

ϕ ↦ ∫ f ϕ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$ y$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Dado que cualquier función en puede aproximarse a mediante funciones suaves con soporte compacto, ambas funciones integrales son completamente conocidas si solo conoce los valores para todas las funciones de prueba. Pero con las funciones de prueba, puede realizar la integración por partes y transformar el lado izquierdo en funcionalL $L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

Lea esto como: "Tomo una función de prueba , calculo su diferencial, y la integro con -u 'sobre [0,1], y le devuelvo el resultado". Pero ese funcional no está definido y limitado en , ya que no puede tomar el diferencial de una función arbitraria de . Pueden parecer extremadamente extraños en general.L 2 L $\phi$$L^2$$L^2$

Aún observamos que esta función puede extenderse al espacio de Sobolev , e incluso es una función limitada en . Eso significa que, dado , puede estimar aproximadamente el valor de por un múltiplo de la norma -norm de . Y, además, el no solo está definido y limitado en , sino que también está definido y limitado en .$H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$$H_0^1$

Ahora puede, por ejemplo, aplicar el lema Lax-Milgram, tal como se presenta en cualquier libro PDE. Un libro de elementos finitos que también lo describe, solo con análisis funcional, es, por ejemplo, el clásico de Ciarlet, o el libro bastante nuevo de Braess.

El lema de Lax-Milgram le brinda a las personas PDE una buena herramienta para el análisis puro, pero también emplean herramientas mucho más extrañas para su propósito. Aún así, estas herramientas también son relevantes para los análisis numéricos, porque de hecho puede crear una discretización para estos espacios.

Por ejemplo, para tener un subespacio discreto de , simplemente tome las funciones de sombrero. No tienen saltos y son diferenciables por partes. Su diferencial es un campo de vector constante por partes. Esta construcción funciona en , lo cual está bien, pero ¿puedes encontrar un espacio ansatz cuyas funciones no solo tengan un gradiente (eso es bueno, es decir, integrable al cuadrado), sino también cuyos gradientes tienen a su vez una divergencia? (de nuevo, cuadrado integrable). Eso es bastante difícil en general.$H_0^1$$d=1,2,3,...$

Entonces, la razón en general de cómo construir formulaciones débiles es que desea aplicar el lema Lax-Milgram, y tener una formulación tal que las funciones puedan implementarse. (Para el registro, ni Lax-Milgram es la última palabra en ese contexto, ni ansatz separa la última palabra en discretización, ver, por ejemplo, métodos Discontinuous Galerkin).$H_0^1$

Para el caso de condiciones de frontera mixtas, el espacio de prueba natural puede diferir de su espacio de búsqueda (en la configuración analítica), pero no tengo idea de cómo describirlo sin referirme a la teoría de distribución, así que me detengo aquí. Espero que esto sea útil.