¿Cuáles son los posibles esquemas numéricos para una ecuación de difusión con un término de reacción no lineal?

Para algunos dominios convexos simples en 2D, tenemos algunos satisfacen la siguiente ecuación: con ciertas condiciones de contorno de Dirichlet y / o Neumann. Que yo sepa, aplicar el método de Newton en un espacio de elementos finitos sería una forma relativamente directa de resolver numéricamente esta ecuación. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Mis preguntas son: (1) ¿Existe una teoría de Sobolev para el buen planteamiento de la formulación variacional correspondiente de esta ecuación suponiendo una condición límite de Dirichlet cero? Si es así, ¿qué espacio de Banach deberíamos considerar? (2) ¿Cuáles son los posibles enfoques numéricos para este tipo de ecuación?

pde finite-element

— Shuhao Cao
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Por "posibles enfoques numéricos", ¿está preguntando sobre la discretización o los solucionadores algebraicos?

— Jed Brown

Veo dos enfoques:

1) Arbitrario f (u). Simplemente coloque f ~ f (u0) en el lado derecho de la ecuación, proceda con cualquier solucionador no lineal, el esquema de punto fijo es una buena opción, porque de todos modos no tiene Jacobian. Más fácil de implementar y usar, el rendimiento más general, pero posiblemente inferior, porque Jacobian no puede ser explotado (generalmente se desconoce).

2) f (u) descompuesto en series (polinomio, Fourier). Más difícil de implementar y usar, puede ser difícil / imposible para algunos especiales f. Pero a cambio, puede calcular y explotar el jacobiano en un método similar a Newton, que generalmente dará como resultado un rendimiento superior.

— Dominik Lark
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f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Debe agregar u ^ n a f. Entonces tiene una forma polinómica simple del término de reacción que se trata mejor con el enfoque 2).

— Dominik Lark