Posicionamiento de un problema de elasticidad lineal con condiciones de contorno periódicas.

Para ciertas aplicaciones, como la transferencia de calor en estado estable y el flujo en medios porosos, es posible simular un dominio mucho más grande (infinito) imponiendo condiciones de límite periódicas en caras de límite opuestas y dirichlet bc en los límites restantes. Para un dominio rectangular 2D, la condición periódica se puede interpretar como si el dominio se encuentra en la superficie de un cilindro.

Tengo curiosidad por saber lo mismo de los problemas de elasticidad. He notado que los problemas de elasticidad lineal estándar se limitan a dominios finitos y nunca he visto un ejemplo en el que se prescriba o implemente una condición de límite periódica. Sospecho que puede haber problemas con la singularidad de las soluciones a este problema debido al movimiento rígido del cuerpo (traslación y / o rotación) inducido por la periodicidad.

Por simplicidad, supongamos el caso de elasticidad plana isotrópica lineal en un dominio rectangular 2D. Digamos que quiero modelar un medio grande (periódico) utilizando condiciones de desplazamiento fijo (dirichlet) en dos límites opuestos y condiciones de desplazamiento periódico en los límites restantes.

¿Este problema está bien planteado? Si no, ¿existen estrategias (p. Ej., Restricciones adicionales) que pueda usar para que estén bien planteadas, sabiendo que mi objetivo final es simular un medio mucho más grande (infinito) con propiedades de material repetitivas?

El ejemplo que das está bien planteado. La desigualdad de Korn se mantiene, si el subconjunto en el que se fija el desplazamiento contiene un subconjunto abierto (en la topología del límite) del límite, lo cual es cierto en su caso.

La prueba simple es: si arreglas un cuerpo rígido en el límite de Dirichlet, ¿puedes moverlo? Por ejemplo, si arregla un punto en dos dimensiones, su objeto puede rotar a su alrededor. Si arreglas un punto o una línea en 3 dimensiones, lo mismo.

Si al final desea condiciones de contorno periódicas en las direcciones e , tendrá que imponer una restricción adicional, por ejemplo, que el valor medio del desplazamiento en todo el rectángulo es cero. Posiblemente, también deberá eliminar las rotaciones.$x$$y$