¿Se requieren 8 puntos Gauss para elementos finitos hexaédricos de segundo orden?

¿Es posible obtener una precisión de segundo orden para elementos finitos hexaédricos con menos de 8 puntos Gauss sin introducir modos no físicos? Un único punto central de Gauss introduce un modo de corte no físico, y la disposición simétrica estándar de 8 puntos de Gauss es costosa en comparación con las discretizaciones tetraédricas.

Editar : Alguien pidió ecuaciones. Las ecuaciones que me interesan son la elasticidad no lineal, ya sea dinámica o cuasiestática. Las ecuaciones cuasiestáticas son

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— Geoffrey Irving
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¿Qué estás simulando exactamente?

— Dan

Elasticidad lineal en este momento, pero la pregunta es sobre la elasticidad no lineal en general.

— Geoffrey Irving

Probablemente deberías incluir las ecuaciones que te interesan, ya que la definición de "no físico" depende de ellas. O al menos definir con precisión el espacio de funciones que son "físicas".

— David Ketcheson el

Ecuaciones agregadas.

— Geoffrey Irving

Con dPhi / dx, ¿te refieres al gradiente?

— Wolfgang Bangerth

Respuestas:

En lo que respecta a las simulaciones de mecánica sólida de elementos finitos, no puede usar menos de 8 puntos de cuadratura sin usar fuerzas de estabilización. En caso de material incompresible (su caso), la mejor solución para fines de precisión es utilizar una formulación mixta. Puede consultar el libro de Simo y Hughes: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC .

— Nicolas Tardieu
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Es relativamente obvio que, en general, no puede escapar con menos puntos de cuadratura por celda que grados de libertad. En el caso de elementos trilineales en un hexaedro 3d, hay 8 grados de libertad (uno por vértice), por lo que el número mínimo de puntos de cuadratura también sería ocho.

que no es invertible y, en consecuencia, completamente inútil. La razón es que una fórmula de cuadratura de un punto no puede distinguir entre todas las funciones lineales (parte del espacio de prueba) que tienen el mismo valor en el punto de cuadratura; en otras palabras, para la regla del punto medio, la función de forma 'x' es la misma que la función '0' es la misma que la función '-x'. En otras palabras, mientras que el espacio de prueba tiene dimensión 2 con integrales exactas, para la regla del punto medio el espacio tiene dimensión 1, a pesar de que hay dos grados de libertad, esa es la definición de un espacio que no es insolvente). para la regla del punto medio, la función de forma 'x' es la misma que la función '0' es la misma que la función '-x'. En otras palabras, mientras que el espacio de prueba tiene dimensión 2 con integrales exactas, para la regla del punto medio el espacio tiene dimensión 1, a pesar de que hay dos grados de libertad, esa es la definición de un espacio que no es insolvente). para la regla del punto medio, la función de forma 'x' es la misma que la función '0' es la misma que la función '-x'. En otras palabras, mientras que el espacio de prueba tiene dimensión 2 con integrales exactas, para la regla del punto medio el espacio tiene dimensión 1, a pesar de que hay dos grados de libertad, esa es la definición de un espacio que no es insolvente).

— Wolfgang Bangerth
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Creo que la pregunta de Geoff es más sutil. Para espacios de elementos finitos continuos en tetraedros en dominios bien formados (p. Ej., Sin elementos aislados), puede salirse con las cuadraturas de un solo punto, que es claramente una baja integración. La pregunta es si allí también es posible subintegrarse de alguna manera con elementos hexaédricos. No sé la respuesta, pero no estoy seguro de cuán importante es, ya que los puntos de cuadratura no requieren movimiento de memoria adicional. Una vez que vectoriza la evaluación residual de elementos finitos, es común que esté unida a la memoria, por lo que es mejor que use los flops.

— Jed Brown el

Buen punto sobre el movimiento de la memoria.

— Geoffrey Irving

Para ampliar el punto de Jed: la razón por la cual el argumento "obvio" anterior es falso es que cada punto de cuadratura ve una matriz . Para el tetraedro, eso cubre todos los movimientos de los vértices, excepto la traslación uniforme, que no afecta la energía o las fuerzas, por lo que un punto de cuadratura es suficiente para la precisión de primer orden.

3 \times 3

$3 \times 3$

— Geoffrey Irving

Más bien inconveniente que los comentarios no pueden incluir nuevas líneas.

— Geoffrey Irving

@JedBrown: Buen punto. El gradiente de las funciones lineales en las tets son constantes, por lo que un solo punto de cuadratura es suficiente, siguiendo el argumento que hice para la matriz de masa (la matriz de rigidez es la matriz de masa para los gradientes :-). Por otro lado, los gradientes de las funciones trilineales en hexahedra son funciones cuadráticas (anisotrópicas), por lo que se necesita ciertamente más que un punto de cuadratura por dirección de coordenadas.

— Wolfgang Bangerth