¿Esquema de tipo Lax-Wendroff de orden superior?

Supongamos que queremos resolver una ley de conservación hiperbólica . Realmente me gusta usar Lax-Wendroff, que dice $u_t+f(u)_x=0$

$u_j^{n+1} = u_j^n -\frac{\Delta t}{\Delta x}(g(u_{j+1}^n,u_j^n)-g(u_j^n,u_{j-1}^n))$

dónde

$g(v,w) = \frac12(f(v)+f(w)) - \frac{\Delta t}{2\Delta x}\vert\frac{f(w)-f(v)}{w-v}\vert^2(w-v)$

o para (advección lineal), $f(u)=au$

. $g(v,w)=\frac12a((v+w)-\frac{\Delta t}{\Delta x}a(w-v))$

Mi pregunta: ¿hay algo similar que tenga un orden superior? No estoy hablando de esos elegantes esquemas de alta resolución, (W) ENO, MUSCL, ... solo un esquema estable de tercer o cuarto orden que funciona para arbitraria . $f$

fluid-dynamics hyperbolic-pde

— Anke
fuente

¿Similar en qué sentido? ¿Y qué cosas "elegantes" descalifican una respuesta?

— David Ketcheson el

g

$g$

g (v_{0}, \dots, v_{3}) = \frac{7}{12} (f (v_{1}) + f (v_{2})) - \frac{1}{12} (f (v_{0}) + f (v_{3}))

$g(v_0,\dots,v_3) = \frac{7}{12}(f(v_1)+f(v_2)) - \frac{1}{12}(f(v_0) + f(v_3))$

Hay muchos esquemas de orden superior por ahí. Pero según el teorema de Godunov , solo el esquema de primer orden puede ser monótono y, por lo tanto, no crear oscilaciones. Este recurso da una breve idea sobre la construcción y el análisis de esquemas de diferencias finitas.

$g(u_{j+{1}},u_{j})$ $j + \frac{1}{2}$

Luego, los valores de las celdas se actualizan utilizando estos flujos.

El libro de Leveque "Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos" brinda información detallada sobre esto. Dependiendo de su elección de plantilla, puede crear un esquema de orden arbitrariamente alto. Pero siempre habrá oscilaciones cerca de la discontinuidad si se trata de un esquema de alto orden.

Otras fuentes de esquemas de alto orden son,

1) Esquemas DRP (este documento también discute la formulación de esquemas estándar FD de alto orden arbitrario)

2) Métodos de Galerkin discontinuos / continuos (estos pueden tener un orden de precisión arbitrariamente alto, pero la reconstrucción a diferencia de la FVM, se lleva a cabo dentro de un elemento. Los valores promediados de la celda no se usan para la reconstrucción)

3) métodos espectrales

Algunos recursos para los sistemas numéricos,

1) "Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos", Randall Leveque

2) "Gasdinámica computacional", Culbert Laney (también discute bien sobre ENO, MUSCL)

3) "Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos", EFToro

— Subodh
fuente

Gracias por el recurso, parece una referencia extensa. En cuanto al resto de su respuesta: soy consciente de las dificultades con las discontinuidades. Aún así, mi pregunta fue explícitamente sobre los métodos de tipo Lax-Wendroff. Lax-Wendroff es estable, FTCS, por ejemplo, no lo es. Por supuesto, obtienes oscilaciones, pero aún así, estoy interesado en este tipo de método.

— Anke