normas

Estoy leyendo un libro sobre métodos numéricos y el cuadrado de la norma discreta $L^2$ se define como

| | x | |_{2}^{2} = h \sum_{1}^{N} x_{i}^{2}

$||x||^2_2=h\sum_1^Nx^2_i$ Cada punto obtiene un "peso", que es

h

$h$ , por lo tanto, es como un promedio sobre los cuadrados de los valores en todos los puntos. De hecho, esto proviene de la aproximación de una integral continua. Por otro lado, ¿puedo definir una norma similar donde la cuadrícula no es uniforme con un espaciado

h_{i}

$h_i$ como

| | x | |_{2}^{2} = \sum_{1}^{N} h_{i} x_{i}^{2}

$||x||^2_2=\sum_1^Nh_ix^2_i$ eso

parece natural, ya que también podría aproximarme a una integral continua de esta manera, pero como no veo que en los libros sospeche que me estoy perdiendo algo. Entonces, si tengo una cuadrícula no uniforme y quiero hacer algunas estimaciones en esta norma, ¿cómo se debe definir?

pde

— Kamil
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no hay referencia ya que NO lo he visto en el libro, ¿por eso estoy preguntando qué está mal al definirlo de esta manera?

— Kamil

@David, no creo que tenga un error tipográfico allí, ¿verdad? Acabo de abrir el primer pdf eecs.berkeley.edu/~colella/E266AFall2012/E266A20120920.pdf y me parece igual en la página 2.

— Kamil

0... N

$0...N$

h = 1 / N

$h=1/N$

h = 1 / (N - 1)

$h=1/(N-1)$

Me disculpo. Me confundiste al afirmar que definirías la norma. Nunca miré el lado izquierdo de su ecuación, ya que supuse que era consistente con el texto que la precedía. Ahora veo que has (correctamente) definido la norma al cuadrado. Edité el texto para que sea consistente con eso. Esta es una buena pregunta.

— David Ketcheson

Respuestas:

Tiene toda la razón: la norma se define de tal manera que la norma discreta (vector) es igual (o al menos se aproxima) a la norma continua de una función correspondiente.

$h_i$

$h^2$ $h^3$

— Wolfgang Bangerth
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$f(x)$ $x \in (a,b)$ $L^2$

‖ f ‖_{2}^{2} = \int_{a}^{b} | f (x) |^{2} d x .

$\begin{equation} \lVert f \rVert_2^2 = \int_a^b \lvert f(x)\rvert^2 \, dx. \end{equation}$

f \equiv {f_{i} = f (x_{i}), i = 0 \dots N}

$\mathbf f \equiv \{ f_i = f(x_i), \; i=0\dots N\}$

x_{i} = a + i \frac{b - a}{N}

$x_i = a + i \frac{b-a}{N}$

L^{2}

$L^2$

\begin{aligned} ‖ f ‖_{2, d}^{2} & = h \sum_{i = 0}^{N} | f_{i} |^{2}, & h = \frac{b - a}{N} \end{aligned}

$\begin{align} \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}}^2 &= h \sum_{i=0}^N \lvert f_i \rvert^2, &h = \frac{b-a}{N} \end{align}$ En tu pregunta, asumes que esto se hace porque queremos que y estás interpretando la norma discreta como una especie de regla de cuadratura, y te preguntas por qué para las cuadrículas no uniformes no se usa una fórmula mejor.

lim_{h \to 0} ‖ f ‖_{2, d} = ‖ f ‖_{2}

$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \: \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}} = \lVert f \rVert_2 \end{equation}$

Esta interpretación no es incorrecta, pero no es la única posible. Como ingeniero que trabaja con cantidades físicas, en lugar de números puros, prefiero pensar en la norma discreta como en una norma euclidiana escalada de tal manera que sea dimensionalmente homogénea a la norma . Entonces, si podemos demostrar que , podemos esperar que . Sin el factor de escala, esto no sería cierto. $\ell^2$ $L^2$ $\lVert f - f^h \rVert_2 \rightarrow 0$ $\lVert \mathbf f -\mathbf f^h\rVert_{2,\text{d}} \rightarrow 0$

EDITAR:

Borré mis conclusiones aquí. Ver la respuesta de Wolfgang.

Tenga en cuenta que la norma euclidiana escalada es fácil de calcular, mientras que su propuesta es un poco imprecisa (puede generar algunas preocupaciones como una fórmula en cuadratura) y costosa de calcular.

En pocas palabras : la forma discreta no es (no es necesario que sea) y la aproximación a la continua, sino que simplemente puede interpretarse como una norma escalada -euclidiana, dimensionalmente consistente con la norma continua . $L^2$ $\ell^2$ $L^2$

— Stefano M
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ok, estoy de acuerdo con un factor de escala. Aunque puede ser costoso calcularlo, no es una razón fundamental para no usarlo. Además, si no puedo definirlo de todos modos, parece que no puedo hacer más que cualquier estimación de estabilidad para una cuadrícula no uniforme, ya que la estabilidad viene con una norma y no puedo llegar a una. ¿Cómo se manejaría uno que las pruebas de cuadrícula no uniforme?

— Kamil

@Kamil mi respuesta fue solo una posible razón para la discreta norma en . (Siguiendo el mismo razonamiento, llega a una escala para espacios -dimensionales). No es mi intención prohibirle el uso de ninguna norma definida de la manera que prefiera; sin embargo, para abordar sus inquietudes, debe proporcionar ejemplos concretos en los que piense que la definición "estándar" no es válida o conduce a resultados incorrectos.

L^{2}

$L^2$

1 D

$1D$

h^{d}

$h^d$

d

$d$

— Stefano M

Veo. El ejemplo es que tengo una cuadrícula no uniforme, no tiene por qué ser una locura, solo una simple no equidistancia. Por lo tanto, estoy considerando un método, dice Euler implícito y dispuesto a demostrar su estabilidad. Por lo tanto, ¿cómo definir una norma entonces? Veo en los libros de toda la teoría se construye para mallas uniformes, sin embargo, hay ventajas de la red non0uniform en términos de un error de truncamiento local ...

— Kamil

Agradezco su respuesta, pero he exceptuado la segunda, ya que de hecho respondió a la pregunta de la posibilidad de definir dicha norma.

— Kamil