Aproximación de derivada parcial de una función de variable estocástica

Sea un proceso Ito d X t = a ( X t , t ) d t + b ( X t , t ) d W t donde W t es un proceso Wiener.$X_t$

$$dX_t=a(X_t,t)dt + b(X_t,t)dW_t$$ $W_t$

Milstein propone una aproximación numérica de la solución de estas ecuaciones:

$$X_T=X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\Delta W_t+ \frac{1}{2}b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \left( \Delta W_t^2 - \Delta t\right)$$

dónde

$\Delta t = T-t$

$\Delta W_t = W_T-W_t$

De acuerdo con la literatura, esto se puede transformar en un esquema libre de derivadas a través de la aproximación (conocido como esquema fuerte de orden explícito 1 de Platen):

$$b(X_t,t) \frac{\partial{b(X_t,t)} }{\partial{x}} \approx \frac{b(X_t+a(X_t,t) \Delta t+ b(X_t,t)\sqrt{\Delta t},t)-b(X_t,t)}{\sqrt{\Delta t}}$$

(Ver: 2001, Kloeden, "Una breve descripción de los métodos numéricos para las ecuaciones diferenciales estocásticas" )

¿Alguien puede ayudar a entender cómo se obtiene esta aproximación de la derivada parcial?

Gracias

Esto se discute en la Sección 11.1 de Kloeden y Platen, "Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas" . Ahí dice:

$$\frac{1}{\sqrt\Delta}\left\{b(\tau_n,Y_n + a\Delta + b\sqrt\Delta) - b(\tau_n,Y_n)\right\}$$ $b\frac{\partial{b}}{\partial{x}}$$(\tau_n,Y_n)$

$dW$$\sqrt{\Delta t}$$\Delta t$$b$$\sqrt{\Delta t}$

Por supuesto, eso es solo intution. La solución numérica de Kloden de ecuaciones diferenciales estocásticas y aproximaciones de Taylor para diferenciaciones parciales estocásticas hace esto más rigurosamente.