¿Cómo se ejecuta exactamente el algoritmo multirredes * completo *?

Entonces entiendo (o al menos creo que lo hago) cómo se ejecuta un ciclo V. He escrito en Matlab la versión recursiva 1-D de un ciclo V. Sin embargo, cuando ejecuté mi código para FMG, mi solución no convergía. Creo que mi problema radica en mi comprensión de la parte FMG real. Lo que sé actualmente es esto:

Justo antes de la Interpolación FMG, he relajado mi solución $u$
Interpolar tanto el error como (?) $u$
Ejecute un ciclo v de 2 cuadrículas, pasando el error al ciclo v (?)
Relaje el error (en la segunda cuadrícula más gruesa)
Interpolar y el error $u$
Actualizar agregando el error a la misma. $u$
Ejecute un ciclo v, luego repita desde el paso 4.

No estoy seguro sobre el orden, pero también podría estar equivocado sobre qué es exactamente lo que interpolo y paso a mi ciclo v. Si me falta algo del algoritmo, hágamelo saber.

multigrid

— AlanH
fuente

¿Dónde se te ocurrió interpolar el "error"? (¿Y cómo se mide el error?)

En la primera visita a una grilla más fina, toda la solución debe ser interpolada, idealmente utilizando un operador de orden superior (por ejemplo, solución postprocesada / reconstruida para FEM). Esta interpolación FMG es . (Está bien usar una interpolación normal , pero esto generalmente da algo de eficiencia, al menos para problemas suaves). $u$ $u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$ $\mathbb{I}_h^H = I_h^H$

Después de la interpolación FMG, solo aplica uno o más ciclos V (o ciclos W, etc.). (Asegúrese de ejecutar al menos un suavizador antes de restringir). Las opciones más comunes son la corrección lineal de defectos en la que solo se restringe el valor residual y el esquema de aproximación total (FAS) que es natural para problemas no lineales porque evita la linealización global (por ejemplo, Newton o Picard). $r^h = A^h u^h - b^h$

En FAS, la rejilla fina estado está restringido usando el operador de restricción estado . La restricción de estado no es requerida por la corrección de defectos lineales multirredes (un atributo conveniente). Las restricciones estatales más comunes son la inyección nodal (para FD y FE) y los promedios de células gruesas (para FV y FE mixta). Ahora podemos escribir la ecuación de cuadrícula gruesa FAS (igualmente válida para no lineal ) como $\tilde u^H \gets \hat I_h^H \tilde u^h$ $A$

A^{H} u^{H} = \underset{b^{H}}{\underset{⏟}{I_{h}^{H} b^{h}}} + \underset{τ_{h}^{H}}{\underset{⏟}{A^{H} {\hat{I}}_{h}^{H} {\tilde{u}}^{h} - I_{h}^{H} A^{h} {\tilde{u}}^{h}}}

$A^H u^H = \underbrace{I_h^H b^h}_{b^H} + \underbrace{A^H \hat I_h^H \tilde u^h - I_h^H A^h \tilde u^h}_{\tau_h^H}$

$b^H$ $\tau_h^H$ $u^{h*}$ $A^H \hat I_h^H u^{h*} = b^H + \tau_h^{H*}$ $u^h \gets \tilde u^h + I_H^h (u^H - \hat I_h^H \tilde u^h)$

— Jed Brown
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El error se calculó mientras calculaba los residuos al pasar de la grilla más fina a la más gruesa. Su aproximación inicial por cuadrícula es solo cero, donde luego se relaja por algún método iterativo.

— AlanH

¿Cómo juega un papel el error (de la suposición inicial en la solución) en todo esto?

— AlanH

u^{h} \leftarrow I_{H}^{h} u^{H}

$u^h \gets \mathbb{I}_H^h u^H$

En el esquema de corrección de dos cuadrículas de Briggs se menciona específicamente el error de interpolación de la cuadrícula gruesa a fina. No suena obstinado, pero ¿es esto de alguna manera diferente de lo que has explicado?

— AlanH

T = I - P^{- 1} A

$T = I - P^{-1}A$

e_{n + 1} = T e_{n}

$e_{n+1} = T e_n$