Máx. De una combinación convexa sobre un casco convexo de variables reales

Tengo el siguiente programa lineal: donde,denota la suma de las entradas de, yes conocido y tiene entradas distintas estrictamente positivas.

\begin{array}{cc} Maximize & a^{T} x \\ Subject to & x_{min} \leq x \leq x_{max} \\ 1^{T} x = 1 \end{array}

$\begin{array}{cc} \text{Maximize} & a^T x \\ \text{Subject to} & x_{\min} \leq x \leq x_{\max} \\ & \mathbf{1}^T x = 1 \end{array}$

x \in R^{n}

$x \in \mathbb{R}^n$

1^{T} x

$\mathbf{1}^T x$

x

$x$

a

$a$

Estoy buscando una forma rápida de resolver lo anterior sin usar un solucionador de LP. ¿Hay un procedimiento rápido a seguir? (además de Simplex).

¡Gracias!

optimization convex-optimization

— Mohammad Fawaz
fuente

Respuestas:

La solución óptima es la siguiente: establecer todas las variables iguales a sus mínimos. Luego, comenzando desde el más grande hasta el más pequeño, establezca iterativamente el correspondiente más grande posible hasta que presione . Si o entonces el problema es inviable. Creo que esta es la misma solución que genera el algoritmo de Geoffrey Irving. $a_i$ $x_i$ $\sum_i x_i = 1$ $\sum_i x_{i,min} > 1$ $\sum_i x_{i,max} < 1$

La razón por la que esto funciona es que puede transformar su problema en la relajación LP del problema de la mochila 0-1 a través de

y_{i} = \frac{x_{i} - x_{i, m i n}}{x_{i, m a x} - x_{i, m i n}} .

$y_i = \frac{x_i - x_{i,min}}{x_{i,max} - x_{i,min}}.$

En el espacio variable , el problema se convierte en $y$

\begin{array}{cl} Maximize & \sum_{i} c_{i} y_{i} \\ Subject to & 0 \leq y_{i} \leq 1, for each i \\ \sum_{i} b_{i} y_{i} = d, \end{array}

$\begin{array}{cl} \text{Maximize} & \sum_i c_i y_i \\ \text{Subject to} & 0 \leq y_i \leq 1, \text{ for each } i \\ & \sum_i b_i y_i = d, \end{array}$

donde , y . Si el problema original es factible, entonces $c_i = a_i (x_{i,max} - x_{i,min})$ $b_i = (x_{i,max} - x_{i,min})$ $d = 1 - \sum_i x_{i,min}$ $d \geq 0$ . Las 'sy ' s no son negativas, por lo que tenemos la relajación LP de 0-1 mochila. (La expresión aparece técnicamente en el objetivo, pero como es una constante, podemos descartarla). $c_i$ $b_i$ $\sum_i a_i x_{i,min}$

Suponiendo que las variables están ordenadas por la relación $\frac{c_i}{b_i} = a_i$ $y_1 = y_2 = \cdots = y_k = 1$ $k$ $y_{k+1} = d - \sum_{i=1}^k b_i$ $y_{k+2} = \cdots = y_n = 0$ $x$ El espacio problemático variable proporciona la solución que acabo de describir.

$\leq$ $=$ $x$ $\sum_i x_{i,max} < 1$

— Mike Spivey
fuente

$x_i$ $a_i$ $x_{\max}$ $x_j$ $a_j$ $x_{\min}$ $O(n \log n)$ $a$ $O(n)$

$x_i$ $x_{\max}$ $a_i$ $x_j$ $x_{\min}$ $a_j$ $x_k$ $x_{\min} < x_k < x_{\max}$ $a_i > a_k > a_j$ $x$ $x_j$ $x_k$ $x_i$ $x_k$

— Geoffrey Irving
fuente

x

$x$

Gracias por su respuesta. El enfoque parece interesante, pero secundo la solicitud de @ArnoldNeumaier de proporcionar un argumento.

— Mohammad Fawaz

Cambia dos componentes por iteración, por lo que no estoy seguro de lo que quieres decir con no correcto si se toma literalmente. Agregaré una breve explicación.

— Geoffrey Irving

x_{i}

$x_i$

i

$i$

i j

$ij$

Ah, tienes razón sobre lo mismo en cada iteración. Debería arreglarse ahora.

— Geoffrey Irving