Solucionadores de PDE para difusión de deriva y modelos relacionados

Estoy tratando de simular modelos básicos de semiconductores con fines pedagógicos, comenzando por el modelo de difusión de deriva. Aunque no quiero usar un simulador de semiconductores estándar, aprenderé otros modelos (comunes, recientes u oscuros), sí quiero usar un solucionador de PDE estándar.

Pero incluso para el caso simple de 1D, el modelo de deriva-difusión consta de una serie de PDE no lineales acopladas:

Ecuaciones de densidad de corriente

J_{n} = q n (x) μ_{n} E (x) + q D_{n} \nabla n

$J_n = q n(x) \mu_n E(x) + qD_n \nabla n$

J_{p} = q p (x) μ_{p} E (x) + q D_{p} \nabla p

$J_p = q p(x) \mu_p E(x) + qD_p \nabla p$

Ecuación de continuidad

\frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{n} + U_{n}

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_n + U_n$

\frac{\partial p}{\partial t} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_{p} + U_{p}

$\frac{\partial{p}}{\partial{t}} = \frac{1}{q} \nabla \cdot J_p + U_p$

Ecuación de Poisson

\nabla \cdot (ϵ \nabla V) = - (p - n + N_{D}^{+} - N_{A}^{-})

$\nabla \cdot (\epsilon \nabla V) = -(p - n + N_D^+ - N_A^-)$

y una serie de condiciones de contorno.

He intentado algunos solucionadores de Python FEM, FEniCS / Dolfin y SfePy , pero sin suerte, debido a que no puedo formularlos en la forma variada débil con funciones de prueba.

Por supuesto, existe la opción de implementar la solución numérica desde cero, pero aún no he estudiado FEM / Numerical en profundidad, así que espero que no sea mi única opción, ya que no quiero estar abrumado con problemas numéricos.

Entonces, ¿hay un paquete (pref. Código abierto) que tome estas ecuaciones, en esa forma, y las resuelva? ¿O tal vez la forma variacional requerida por las herramientas no es tan difícil? En cualquier caso, ¿cuáles son mis opciones?

Gracias

Editar: Intento de formular la forma variacional débil para FEniCS / Dolfin o SfePy

Usando tres PDE (Poisson + dos ecuaciones de continuidad con J sustituido), estamos buscando V, ny p. La ecuación de Poisson (usando una función de prueba ) es directa. Sin embargo, estoy teniendo dificultades con las ecuaciones de continuidad. $u_V$

El segundo PDE (forma fuerte) donde son constantes, son funciones escalares

\frac{\partial n}{\partial t} = \nabla \cdot (C_{1} n \nabla V + C_{2} \nabla n) + U

$\frac{\partial{n}}{\partial{t}} = \nabla \cdot (C_1 n \nabla V +C_2\nabla n) + U$

C_{1}, C_{2}

$C_1, C_2$

U, n, p, V

$U, n, p, V$

Deje denotar una función de prueba para el segundo PDE. Luego $f_n$

\int_{Ω} f_{n} \frac{n - n_{1}}{Δ t} d Ω - C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω - C_{2} \int_{Ω} f_{n} \nabla^{2} n d Ω - \int_{Ω} f_{n} U d Ω

$\int_{\Omega}f_n\frac{n - n_1}{\Delta t}d\Omega - C_1 \int_{\Omega}f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega - C_2 \int_{\Omega}f_n \nabla^2 n d\Omega - \int_{\Omega}f_n U d\Omega$

Especialmente preocupante es la integral:

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega$

Pero es un vector, y son escalares. Luego, usando la identidad $\mathbf{\nabla V}$ $V, u_n, n$ $\nabla \cdot \phi \mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{\nabla \phi} + \phi \nabla \cdot \mathbf{A}$

C_{1} \int_{Ω} f_{n} \nabla \cdot (n \nabla V) d Ω = C_{1} \int_{Ω} f_{n} (\nabla V \cdot \nabla n) + C_{1} \int_{Ω} f_{n} n \nabla \cdot \nabla V

$C_1 \int_{\Omega} f_n \nabla \cdot ( n \nabla V) d\Omega = C_1 \int_{\Omega} f_n (\nabla V \cdot \nabla n) + C_1 \int_{\Omega} f_n n \nabla \cdot \nabla V$

Dado que V se resuelve mediante la ecuación de Poisson, ¿podemos usar el valor calculado recientemente como se permite en el software Dolfin / FEniCS y simplificar cómo tratamos a V en esta segunda ecuación acoplada? Este tipo de técnicas funcionan mientras discretizan (por ejemplo, Gummel, ...), ¡lo cual no hago en estos solucionadores listos!

Además, las condiciones de contorno se dan en términos de no , ¿cómo implementa esto? ¿Debo resolver las cinco variables , aunque está determinado por V y n? $J_n$ $n$ $J_n, J_p, n, p, V$ $J_n$

pde

— Weaam
fuente

¿Por qué no puedes escribir sus formas débiles?

— Bill Barth

@BillBarth Edité mi pregunta, por favor, eche un vistazo. Gracias.

— Weaam

Su integración por partes está mal. Verifique la fórmula, faltan signos, tiene más derivadas a la derecha que a la izquierda y se olvidó de la integral de límite.

— Wolfgang Bangerth

Además, ¿hay alguna razón por la que esté usando un producto de puntos para representar la multiplicación por ? Es un escalar, ¿verdad?

u_{n}

$u_n$

— Bill Barth

Sí, debería haber sido más cuidadoso. Verifique mi edición, especialmente mi pregunta sobre cómo tratamos a V, ya que ya debería haber sido resuelto por el PDE anterior. ¿Tiene esto algún efecto en la forma variacional? Gracias.

— Weaam

La formulación de Scharfetter-Gummel (SG) se usa comúnmente para resolver las ecuaciones de densidad de corriente. Esta es una formulación especial que supera las dificultades para resolver la dependencia no lineal entre el potencial y la densidad de corriente.

En este libro se encuentra un texto estándar que discute cómo estas ecuaciones que utilizan métodos de integración de cajas: Selberherr, S., Análisis y simulación de dispositivos semiconductores. Springer-Verlag 1984

Este tipo de simulación se llama Tecnología de Diseño Asistido por Computadora (TCAD). A diferencia del método de elementos finitos (FEM), el método de volumen finito (FVM) se utiliza para calcular las corrientes. Esto se debe a que encaja en la formulación SG que los expertos en este método han demostrado que funciona al resolver las ecuaciones de densidad de corriente.

Si desea resolver esto utilizando PDE generalizados, COMSOL tiene un módulo de semiconductores que resuelve este problema utilizando un método híbrido FEM / FVM.

Además, los simuladores TCAD comerciales y de código abierto se enumeran aquí: http://www.tcadcentral.com

Que yo sepa, los solucionadores generalizados de PDE TCAD son DEVSIM, FLOOPS, PROPHET. Las herramientas comerciales tienden a tener la mayoría de las ecuaciones físicas codificadas en un lenguaje compilado como C ++.

— Juan
fuente

Pido disculpas por la respuesta extremadamente tardía. Me di cuenta de que una aplicación tan directa de DD (incluso con SG) era bastante inestable (mi implementación en Fenics al menos), por lo que la abandoné. En un curso posterior de VLSI, de hecho utilicé las herramientas Comsol y TCAD. Gracias por su respuesta integral.

— Armado